Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика№4. Розв'язати рівняння: a) cos 6x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; б) sin (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6})=-1; в) 4sin²x - 11 cosx-1 = 0; г) 3sin²x - sin 2x - cos²x = 2; ґ) cosx - cos 3x + sin x = 0.
Ответ:
Ответ: a) \[x = ±\frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n ∈ Z\]; б) \[x = -\frac{7\pi}{6} + 6\pi n, n ∈ Z\]; в) \[x = ±\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n ∈ Z\]; г) \[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n ∈ Z\]; ґ) \[x = \frac{\pi n}{2}, n ∈ Z\]
a) \[cos 6x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Логика такая:
- Находим общее решение для косинуса.
- Делим на коэффициент при x.
Решение:
\[6x = ±arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[6x = ±\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[x = ±\frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n ∈ Z\]
б) \[sin (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6})=-1\]
Логика такая:
- Находим общее решение для синуса.
- Выражаем x.
Решение:
\[\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = arcsin(-1) + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[\frac{x}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[x = -\frac{7\pi}{6} + 6\pi n, n ∈ Z\]
в) \[4sin^2x - 11 cosx - 1 = 0\]
Логика такая:
- Преобразуем sin^2(x) в cos^2(x).
- Решаем квадратное уравнение относительно cos(x).
- Находим x.
Решение:
\[4(1 - cos^2x) - 11 cosx - 1 = 0\]
\[4 - 4cos^2x - 11 cosx - 1 = 0\]
\[-4cos^2x - 11 cosx + 3 = 0\]
\[4cos^2x + 11 cosx - 3 = 0\]
Пусть \[t = cosx\]
\[4t^2 + 11t - 3 = 0\]
\[D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\]
\[t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]
\[t_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\]
\[cosx = \frac{1}{4}\] или \[cosx = -3\] (не имеет решений)
\[x = ±arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi n, n ∈ Z\]
г) \[3sin^2x - sin 2x - cos^2x = 2\]
Логика такая:
- Преобразуем sin^2(x) и cos^2(x) с использованием основного тригонометрического тождества.
- Решаем относительно tg(x).
- Находим x.
Решение:
\[3sin^2x - 2sinxcosx - cos^2x = 2(sin^2x + cos^2x)\]
\[3sin^2x - 2sinxcosx - cos^2x = 2sin^2x + 2cos^2x\]
\[sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0\]
Делим обе части на cos^2(x) (если cosx = 0, то sinx = ±1, что не является решением)
\[tg^2x - 2tgx - 3 = 0\]
Пусть \[t = tgx\]
\[t^2 - 2t - 3 = 0\]
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\]
\[t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
\[t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
\[tgx = 3\] или \[tgx = -1\]
\[x = arctg(3) + \pi n, n ∈ Z\] или \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n ∈ Z\]
ґ) \[cosx - cos 3x + sin x = 0\]
Логика такая:
- Используем формулу разности косинусов.
- Решаем уравнение.
Решение:
\[-2sin(\frac{x + 3x}{2})sin(\frac{x - 3x}{2}) + sin x = 0\]
\[-2sin(2x)sin(-x) + sin x = 0\]
\[2sin(2x)sin(x) + sin x = 0\]
\[sin x(2sin(2x) + 1) = 0\]
\[sinx = 0\] или \[2sin(2x) + 1 = 0\]
\[x = \pi n, n ∈ Z\] или \[sin(2x) = -\frac{1}{2}\]
\[2x = arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n ∈ Z\] или \[2x = \pi - arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\] или \[2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\] или \[2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n ∈ Z\]
\[x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, n ∈ Z\] или \[x = \frac{7\pi}{12} + \pi n, n ∈ Z\]
Ответ: a) \[x = ±\frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n ∈ Z\]; б) \[x = -\frac{7\pi}{6} + 6\pi n, n ∈ Z\]; в) \[x = ±\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n ∈ Z\]; г) \[x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n ∈ Z\]; ґ) \[x = \frac{\pi n}{2}, n ∈ Z\]
