№4 Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-7x-9>0; б) x²-6x+9>0;

Решим каждое неравенство графическим методом.

1. а) 2x²-7x-9≥0;

Найдем корни квадратного уравнения 2x²-7x-9=0:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Так как коэффициент при x² положителен (2 > 0), ветви параболы направлены вверх. Неравенство 2x²-7x-9≥0 выполняется вне интервала между корнями:

$$x ≤ -1 \text{ или } x ≥ 4.5$$

Ответ: $$\left(-\infty; -1\right] \cup \left[4.5; +\infty\right)$$.

2. б) x²-6x+9>0;

Решим квадратное уравнение x²-6x+9=0:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Так как коэффициент при x² положителен (1 > 0), ветви параболы направлены вверх. Парабола касается оси x в точке x = 3. Неравенство x²-6x+9>0 выполняется для всех x, кроме x = 3.

Ответ: $$\left(-\infty; 3\right) \cup \left(3; +\infty\right)$$.

Ответ: a) $$\left(-\infty; -1\right] \cup \left[4.5; +\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty; 3\right) \cup \left(3; +\infty\right)$$