№ 4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f (x)=1/2x^2 - 1/3x^3 на отрезное [1; 3].

Ответ: f(1) = 1/6 - наименьшее значение, f(0) = 0 - наибольшее значение.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции

\[f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\] \[f'(x) = x - x^2\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки

\[x - x^2 = 0\] \[x(1 - x) = 0\] Критические точки: x = 0, x = 1.

• Шаг 3: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках

Отрезок: [1; 3] \[f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\] \[f(3) = \frac{1}{2}(3)^2 - \frac{1}{3}(3)^3 = \frac{9}{2} - \frac{27}{3} = \frac{9}{2} - 9 = \frac{9}{2} - \frac{18}{2} = -\frac{9}{2}\] Критическая точка x = 0 также рассматривается: \[f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0\]

• Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значения

Сравниваем значения: f(1) = 1/6, f(3) = -9/2, f(0) = 0.

Ответ: f(1) = 1/6 - наименьшее значение, f(0) = 0 - наибольшее значение.