№ 1. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, в которой: a) a1 = 5, d = 3 б) а₁ = 18,5, d = −2,5 № 2. Найдите сумму первых пяти, сорока членов последовательности (ап), заданной формул an = 3n + 2 № 3. Найдите сумму всех чётных чисел, не превышающих 100.

Ответ: a) S₁₂ = 258; б) S₁₂ = 63

№1. a)

• Дано: a₁ = 5, d = 3, n = 12
• Найти: S₁₂

Решение:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения: \[ S_{12} = \frac{2 \cdot 5 + (12-1) \cdot 3}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{10 + 11 \cdot 3}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{10 + 33}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{43}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = 43 \cdot 6 \]

\[ S_{12} = 258 \]

Ответ: S₁₂ = 258

№1. б)

• Дано: a₁ = 18.5, d = -2.5, n = 12
• Найти: S₁₂

Решение:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения: \[ S_{12} = \frac{2 \cdot 18.5 + (12-1) \cdot (-2.5)}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{37 + 11 \cdot (-2.5)}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{37 - 27.5}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = \frac{9.5}{2} \cdot 12 \]

\[ S_{12} = 9.5 \cdot 6 \]

\[ S_{12} = 57 \]

Ответ: S₁₂ = 57

Ответ: S₅ = 325; S₄₀ = 2540

№2.

• Дано: an = 3n + 2
• Найти: S₅, S₄₀

Решение:

Сумма n первых членов последовательности вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Для n = 5:

Найдем a₁ и a₅: \[ a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \]

\[ a_5 = 3 \cdot 5 + 2 = 17 \]

Подставим значения: \[ S_5 = \frac{5 + 17}{2} \cdot 5 \]

\[ S_5 = \frac{22}{2} \cdot 5 \]

\[ S_5 = 11 \cdot 5 \]

\[ S_5 = 55 \]

Для n = 40:

Найдем a₁ и a₄₀: \[ a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \]

\[ a_{40} = 3 \cdot 40 + 2 = 122 \]

Подставим значения: \[ S_{40} = \frac{5 + 122}{2} \cdot 40 \]

\[ S_{40} = \frac{127}{2} \cdot 40 \]

\[ S_{40} = 127 \cdot 20 \]

\[ S_{40} = 2540 \]

Ответ: S₅ = 55; S₄₀ = 2540

Ответ: 2450

№3.

• Найти сумму всех чётных чисел, не превышающих 100.

Решение:

Чётные числа образуют арифметическую прогрессию: 2, 4, 6, ..., 100.

a₁ = 2, d = 2, aₙ = 100

Найдем количество членов n: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

\[ 100 = 2 + (n-1)2 \]

\[ 98 = (n-1)2 \]

\[ 49 = n - 1 \]

\[ n = 50 \]

Теперь найдем сумму: \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

\[ S_{50} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 \]

\[ S_{50} = \frac{102}{2} \cdot 50 \]

\[ S_{50} = 51 \cdot 50 \]

\[ S_{50} = 2550 \]

Ответ: 2550

Ответ: a) S₁₂ = 258; б) S₁₂ = 63

Ответ: S₅ = 325; S₄₀ = 2540

Ответ: 2450