№ 5. Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х² – 14х + 5 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения х₁² + х₂².

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применение теоремы Виета

   Для квадратного уравнения вида \[ax^2 + bx + c = 0\] теорема Виета утверждает, что сумма корней \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] и произведение корней \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\].

   В нашем случае, уравнение имеет вид \[x^2 - 14x + 5 = 0\], где \[a = 1, b = -14, c = 5\]. Следовательно, \[x_1 + x_2 = -\frac{-14}{1} = 14\] и \[x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{1} = 5\].

2. Шаг 2: Преобразование выражения \[x_1^2 + x_2^2\]

   Нам нужно найти значение выражения \[x_1^2 + x_2^2\]. Это можно преобразовать, используя известные значения суммы и произведения корней: \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\].

3. Шаг 3: Подстановка значений и вычисление

   Теперь подставим значения, найденные в Шаге 1, в преобразованное выражение: \[x_1^2 + x_2^2 = (14)^2 - 2 \cdot 5\] \[x_1^2 + x_2^2 = 196 - 10 = 186\].