№ 3 (3 балла) Решите иррациональные уравнения a) √x + 2 = 4-х б) √x2 – 5x = x-3

a) √x + 2 = 4 - x

• Шаг 1: Изолируем корень:

\[\sqrt{x + 2} = 4 - x\]

• Шаг 2: Возводим обе части в квадрат:

\[(\sqrt{x + 2})^2 = (4 - x)^2\]

• Шаг 3: Решаем уравнение:

\[x + 2 = 16 - 8x + x^2\]

• Шаг 4: Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

\[x^2 - 9x + 14 = 0\]

• Шаг 5: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\]

\[x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 5}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 5}{2} = 2\]

• Шаг 6: Проверяем корни на посторонние решения:

Подставляем x = 7 в исходное уравнение:

\[\sqrt{7 + 2} = 4 - 7\]

\[\sqrt{9} = -3\]

\[3 = -3 \quad (неверно)\]

Подставляем x = 2 в исходное уравнение:

\[\sqrt{2 + 2} = 4 - 2\]

\[\sqrt{4} = 2\]

\[2 = 2 \quad (верно)\]

• Шаг 7: Вывод:

x = 7 - посторонний корень, x = 2 - решение.

б) √x² – 5x = x - 3

• Шаг 1: Возводим обе части в квадрат:

\[(\sqrt{x^2 - 5x})^2 = (x - 3)^2\]

• Шаг 2: Решаем уравнение:

\[x^2 - 5x = x^2 - 6x + 9\]

• Шаг 3: Упрощаем уравнение:

\[x = 9\]