16.3 ☆ Докажите равенство прямоугольных тре- угольников по катету и проведённой к нему медиа- не (рис. 16.25). 16.4 ☆☆ Докажите, что медиана и высота, проведён- ные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами (рис. 16.26). 16.5 ☆☆ Одна сторона треугольника B два раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника (рис. 16.27)

16.3

• Для доказательства равенства прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведенной к нему, нужно показать, что если катет и медиана одного треугольника равны катету и медиане другого треугольника, то и сами треугольники равны.
• Это можно доказать, используя признаки равенства треугольников (например, по двум сторонам и углу между ними).

16.4

• Чтобы доказать, что медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника, образуют равные углы с его катетами, нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и медиан.
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, и углы, образованные медианой и высотой, можно выразить через углы треугольника.

16.5

1. Пусть одна сторона треугольника равна a, тогда другая сторона равна 2a. Угол между ними равен 60°.
2. Используем теорему косинусов, чтобы найти третью сторону:

\[c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(60^\circ)\] \[c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 5a^2 - 2a^2\] \[c^2 = 3a^2\] \[c = a\sqrt{3}\]

3. Теперь у нас есть все три стороны треугольника: a, 2a и a√3.
4. Чтобы найти меньший угол, воспользуемся теоремой синусов:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2a}{\sin(\beta)} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin(\gamma)}\]

5. Меньший угол лежит напротив меньшей стороны, то есть напротив стороны a. Обозначим этот угол как α.
6. Найдем sin(α):

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{2a}{\sin(\beta)}\] \[\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{2a}\] \[\sin(\alpha) = \frac{\sin(60^\circ)}{2}\] \[\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{4}\]

7. Теперь найдем угол α, используя арксинус:

\[\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{4}) \approx 25.66^\circ\]

Ответ: Меньший угол треугольника равен приблизительно 25.66°.

Ответ: Меньший угол треугольника равен приблизительно 25.66°.