■ С-31. Решение задач с помощью рациональных уравнений 1. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на 1/5. Найдите эту дробь. 2. Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

Решение задач с помощью рациональных уравнений

Задача 1

Пусть числитель дроби равен \(x\), тогда знаменатель равен \(x + 4\). Исходная дробь имеет вид \(\frac{x}{x+4}\). После изменений числитель стал \(x + 19\), а знаменатель \(x + 4 + 28 = x + 32\). Новая дробь имеет вид \(\frac{x+19}{x+32}\). По условию, новая дробь больше исходной на \(\frac{1}{5}\). Составим уравнение:

\[\frac{x+19}{x+32} - \frac{x}{x+4} = \frac{1}{5}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(x+19)(x+4) - x(x+32)}{(x+32)(x+4)} = \frac{1}{5}\] \[\frac{x^2 + 4x + 19x + 76 - x^2 - 32x}{x^2 + 4x + 32x + 128} = \frac{1}{5}\] \[\frac{-9x + 76}{x^2 + 36x + 128} = \frac{1}{5}\]

Умножим обе части уравнения на 5 и на \((x^2 + 36x + 128)\):

\[5(-9x + 76) = x^2 + 36x + 128\] \[-45x + 380 = x^2 + 36x + 128\]

Перенесем все в правую часть:

\[x^2 + 36x + 45x + 128 - 380 = 0\] \[x^2 + 81x - 252 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 81^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 6561 + 1008 = 7569\] \[\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87\] \[x_1 = \frac{-81 + 87}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-81 - 87}{2} = \frac{-168}{2} = -84\]

Так как знаменатель не может быть отрицательным (иначе дробь будет отрицательной, а после увеличения на 1/5 она останется отрицательной, что противоречит условию), то \(x = 3\). Тогда числитель равен 3, а знаменатель \(3 + 4 = 7\). Исходная дробь равна \(\frac{3}{7}\).

Ответ: 3/7

Задача 2

Пусть скорость течения реки равна \(v\) км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки равна \(18 + v\) км/ч, а против течения — \(18 - v\) км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{50}{18 + v}\) ч, а против течения — \(\frac{8}{18 - v}\) ч. Общее время в пути составляет 3 часа. Составим уравнение:

\[\frac{50}{18 + v} + \frac{8}{18 - v} = 3\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{50(18 - v) + 8(18 + v)}{(18 + v)(18 - v)} = 3\] \[\frac{900 - 50v + 144 + 8v}{324 - v^2} = 3\] \[\frac{1044 - 42v}{324 - v^2} = 3\]

Умножим обе части уравнения на \(324 - v^2\):

\[1044 - 42v = 3(324 - v^2)\] \[1044 - 42v = 972 - 3v^2\]

Перенесем все в левую часть:

\[3v^2 - 42v + 1044 - 972 = 0\] \[3v^2 - 42v + 72 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[v^2 - 14v + 24 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\] \[\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10\] \[v_1 = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[v_2 = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Оба корня подходят по условию задачи, но обычно скорость течения реки меньше скорости теплохода. Поэтому рассмотрим оба варианта.

Если скорость течения реки 12 км/ч, то скорость по течению \(18 + 12 = 30\) км/ч, а против течения \(18 - 12 = 6\) км/ч. Время по течению \(\frac{50}{30} = \frac{5}{3}\) ч, а против течения \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) ч. Общее время \(\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3\) ч. Этот вариант подходит.

Если скорость течения реки 2 км/ч, то скорость по течению \(18 + 2 = 20\) км/ч, а против течения \(18 - 2 = 16\) км/ч. Время по течению \(\frac{50}{20} = \frac{5}{2}\) ч, а против течения \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\) ч. Общее время \(\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\) ч. Этот вариант тоже подходит.

Обычно в таких задачах скорость течения реки меньше собственной скорости теплохода, поэтому более вероятный ответ 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч или 12 км/ч

Молодец! Ты хорошо справился с задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!