2√(x-1)≥4x-22

Ответ: x ≥ 6

1. Шаг 1: Область определения

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), так как у нас есть квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\[x - 1 \ge 0\]\[x \ge 1\]

2. Шаг 2: Решение неравенства

Теперь решим само неравенство:

\[2\sqrt{x-1} \ge 4x - 22\]

Разделим обе части на 2:

\[\sqrt{x-1} \ge 2x - 11\]

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что обе части должны быть неотрицательными, т.е. \(2x - 11 \ge 0\) или \(x \ge 5.5\)):

\[x - 1 \ge (2x - 11)^2\]\[x - 1 \ge 4x^2 - 44x + 121\]

Перенесем все в правую часть:

\[0 \ge 4x^2 - 45x + 122\]

3. Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Решим квадратное уравнение \(4x^2 - 45x + 122 = 0\). Найдем дискриминант:

\[D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 122 = 2025 - 1952 = 73\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{45 - \sqrt{73}}{8} \approx 4.43\]\[x_2 = \frac{45 + \sqrt{73}}{8} \approx 6.82\]

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(4x^2 - 45x + 122 \le 0\) выполняется между корнями:

\[\frac{45 - \sqrt{73}}{8} \le x \le \frac{45 + \sqrt{73}}{8}\]

4. Шаг 4: Учет ограничений

Учитываем, что \(x \ge 1\) (из ОДЗ) и \(x \ge 5.5\) (из условия возведения в квадрат):

\[5.5 \le x \le \frac{45 + \sqrt{73}}{8}\]

Приблизительно:

\[5.5 \le x \le 6.82\]

5. Шаг 5: Проверка целых значений

Проверим целые значения, попадающие в этот интервал. Это 6.

Для \(x=6\):

\[2\sqrt{6-1} \ge 4(6) - 22\]\[2\sqrt{5} \ge 24 - 22\]\[2\sqrt{5} \ge 2\]\[\sqrt{5} \ge 1\]

Это верно, значит \(x=6\) подходит.

6. Шаг 6: Финальный ответ

Учитывая все ограничения и полученные значения, получаем:

\[6 \le x \le \frac{45 + \sqrt{73}}{8}\]

Так как нам нужно указать конкретное значение, проверим \(x = 6\):

\[2\sqrt{6-1} \ge 4(6) - 22\]\[2\sqrt{5} \ge 24 - 22\]\[2\sqrt{5} \ge 2\]\[\sqrt{5} \ge 1\]

Это верно, значит, \(x=6\) является решением.

Ответ: x ≥ 6