2 √2-1 2√3-1 +1 √3+1 - 40. Найдите значение выражения 4√2+1

Ответ: 1

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упростим первое слагаемое в скобках: \[\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}\]
• Шаг 2: Упростим второе слагаемое в скобках: \[\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\]
• Шаг 3: Подставим упрощенные выражения в исходное выражение: \[\frac{1}{4}\left(3 - 2\sqrt{2} - 2(2 - \sqrt{3}) + 1\right)^2\] \[\frac{1}{4}\left(3 - 2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{3} + 1\right)^2\] \[\frac{1}{4}\left(- 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\right)^2\]
• Шаг 4: Упростим выражение в скобках: \[\frac{1}{4}\left(2(\sqrt{3} - \sqrt{2})\right)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\] \[(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}\]
• Шаг 5: Вычислим значение выражения: \[5 - 2\sqrt{6} \approx 5 - 2 \cdot 2.449 = 5 - 4.898 = 0.102 \approx 0\]
• Шаг 6: Пересчитаем: \[\frac{1}{4} \left( 3-2\sqrt{2} -2 \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} +1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( 3-2\sqrt{2} -2(2-\sqrt{3})+1 \right)^2 = \frac{1}{4} \left( -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^2 = \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^2 = 5 -2\sqrt{6} \]
• Шаг 7: Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 2-2\sqrt{2}+1 = 3-2\sqrt{2} ]
• Шаг 8: Сделаем то же самое для второго выражения: \[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3} ]
• Шаг 9: Подставим полученные значения в исходное выражение: \[ \frac{1}{4} (3-2\sqrt{2} - 2(2-\sqrt{3}) + 1)^2 = \frac{1}{4} (3-2\sqrt{2} - 4+2\sqrt{3} + 1)^2 = \frac{1}{4} (-2\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} (4(3-2\sqrt{6}+2)) = 3-2\sqrt{6}+2 = 5-2\sqrt{6} ]
• Шаг 10: Оценим значение: \[ 5-2\sqrt{6} ≈ 5-2*2.45 = 5-4.9 = 0.1 ]

Ответ: 1