4) (3−x)(x²−9)≥0;

Ответ: x ∈ (-∞; -3] ∪ [3; 3]

Решение:

Рассмотрим неравенство: \[(3 - x)(x^2 - 9) \ge 0\]

Шаг 1: Разложим квадратный трехчлен на множители:

• \[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\]

Теперь неравенство имеет вид:

Шаг 2: Умножим неравенство на -1, чтобы изменить знак у первой скобки, и учтем это изменение:

• \[-(x - 3)(x - 3)(x + 3) \ge 0\]
• \[(x - 3)(x - 3)(x + 3) \le 0\]
• \[(x - 3)^2(x + 3) \le 0\]

Шаг 3: Найдем корни многочлена:

• Корень \(x = 3\) имеет кратность 2.
• Корень \(x = -3\) имеет кратность 1.

Шаг 4: Применим метод интервалов:

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

     +             -3             +         3        +
------------------|------------------|------------------

• На интервале \((-\infty; -3)\) знак положительный.
• В точке \(x = -3\) знак меняется на отрицательный.
• На интервале \((-3; 3)\) знак отрицательный.
• В точке \(x = 3\) знак не меняется (т.к. корень имеет четную кратность).
• На интервале \((3; +\infty)\) знак остается отрицательным.

Шаг 5: Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю:

• \[x \in (-\infty; -3] \cup [3; 3]\]

Заметим, что при \(x = 3\) исходное неравенство обращается в верное равенство нулю.

Финальный ответ:

Ответ: x ∈ (-∞; -3] ∪ [3; 3]