• 1. Упростите выражение: a) 2x(x-3) - 3x(x + 5); б) (a + 7)(a-1) + (a - 3)²; в) 3(у + 5)² - 3y². • 2. Разложите на множители: a) c² - 16c; б) 3a²-6ab + 3b². 3. Упростите выражение (3a - a²)² - a²(a - 2)(a + 2) + 2a(7 + 3a²). 4. Разложите на множители: a) 81a⁴ - 1; б) y²-x²-6x – 9. 5. Докажите, что выражение выражение - а² + 40-9 может принимать лишь отрицательные значения.

Привет! Сейчас разберемся с этими заданиями. Постараюсь объяснить все максимально понятно.

1. Упростите выражение:

a) 2x(x-3) - 3x(x + 5)

• Раскрываем скобки: 2x² - 6x - 3x² - 15x
• Приводим подобные слагаемые: -x² - 21x

б) (a + 7)(a-1) + (a - 3)²

• Раскрываем скобки: a² - a + 7a - 7 + a² - 6a + 9
• Приводим подобные слагаемые: 2a² + 2

в) 3(y + 5)² - 3y²

• Раскрываем скобки: 3(y² + 10y + 25) - 3y²
• Упрощаем: 3y² + 30y + 75 - 3y²
• Приводим подобные слагаемые: 30y + 75

2. Разложите на множители:

a) c² - 16c

• Выносим общий множитель c: c(c - 16)

б) 3a² - 6ab + 3b²

• Выносим общий множитель 3: 3(a² - 2ab + b²)
• Замечаем полный квадрат: 3(a - b)²

3. Упростите выражение

(3a - a²)² - a²(a - 2)(a + 2) + 2a(7 + 3a²)

• Раскрываем скобки: 9a² - 6a³ + a⁴ - a²(a² - 4) + 14a + 6a³
• Упрощаем: 9a² - 6a³ + a⁴ - a⁴ + 4a² + 14a + 6a³
• Приводим подобные слагаемые: 13a² + 14a

4. Разложите на множители:

a) 81a⁴ - 1

• Используем разность квадратов: (9a² - 1)(9a² + 1)
• Снова разность квадратов: (3a - 1)(3a + 1)(9a² + 1)

б) y² - x² - 6x - 9

• Группируем: y² - (x² + 6x + 9)
• Замечаем полный квадрат: y² - (x + 3)²
• Разность квадратов: (y - (x + 3))(y + (x + 3))
• Упрощаем: (y - x - 3)(y + x + 3)

5. Докажите, что выражение -a² + 4a - 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Преобразуем выражение: -a² + 4a - 9 = -(a² - 4a + 9)

• Выделяем полный квадрат: -(a² - 4a + 4 + 5)
• Упрощаем: -((a - 2)² + 5)

Т.к. (a - 2)² всегда неотрицательно, то (a - 2)² + 5 всегда больше или равно 5, а значит, -((a - 2)² + 5) всегда меньше или равно -5.

Следовательно, выражение всегда отрицательно.