• 1. Докажите неравенство: a) (x+7)2 x(x+14); б) 12x ≤ (x+3)²; • 2. Известно, что а>b. Сравните: а) 18а и 18b; б) -6,7а и -6,7b; в) -3,7b и -3,7 Результат сравнения запишите в виде неравенства 3. Известно, что 3,1< а) 3/10; б)-V10. 4. Оцените периметр равнобедренного треугольника с о нованием с см и боковой стороной а см, если 145 с≤1 и 18 ≤ d ≤ 19. 5 Докажите неравенство (5а - 3) (ба + 3) - 30а < (54-3

1. Докажите неравенство:

a) \( (x+7)^2 > x(x+14) \)

• Раскроем скобки: \( x^2 + 14x + 49 > x^2 + 14x \)
• Упростим неравенство: \( 49 > 0 \)

Так как \( 49 > 0 \) всегда верно, неравенство доказано.

б) \( 12x \le (x+3)^2 \)

• Раскроем скобки: \( 12x \le x^2 + 6x + 9 \)
• Перенесем все в одну сторону: \( 0 \le x^2 - 6x + 9 \)
• Заметим, что это полный квадрат: \( 0 \le (x-3)^2 \)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство доказано.

2. Известно, что a > b. Сравните:

а) 18a и 18b

• Так как a > b, то умножение на положительное число 18 сохранит знак неравенства: \( 18a > 18b \)

б) -6,7a и -6,7b

• Умножение на отрицательное число -6,7 изменит знак неравенства: \( -6,7a < -6,7b \)

в) -3,7b и -3,7a

• Так как a > b, то \( -3,7a < -3,7b \)

3. Известно, что \( 3.1 < \sqrt{10} < 3.2 \). Оцените:

а) \( 3\sqrt{10} \)

• Умножим все части неравенства на 3: \( 3 \cdot 3.1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3.2 \)
• \( 9.3 < 3\sqrt{10} < 9.6 \)

б) \( -\sqrt{10} \)

• Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства: \( -3.2 < -\sqrt{10} < -3.1 \)

4. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием c см и боковой стороной d см, если \( 14 \le c \le 15 \) и \( 18 \le d \le 19 \).

• Периметр P = c + 2d
• Минимальный периметр: \( 14 + 2 \cdot 18 = 14 + 36 = 50 \)
• Максимальный периметр: \( 15 + 2 \cdot 19 = 15 + 38 = 53 \)
• \( 50 \le P \le 53 \)

5. Докажите неравенство \( (5a - 3)(5a + 3) - 30a < (5a - 3)^2 \)

• Раскроем скобки: \( 25a^2 - 9 - 30a < 25a^2 - 30a + 9 \)
• Упростим неравенство: \( -9 < 9 \)

Так как \( -9 < 9 \) всегда верно, неравенство доказано.