• § 29 – читать, конспект – учить 1. Пружинный маятник с грузом массой 160 г совершает 45 колебаний за 36 с. Чему равна жёсткость пружины? 2. Маятник, который на Земле совершал свободные колебания с частотой 0,5 Гц, был доставлен на Луну. С какой частотой маятник будет колебаться на поверхности Луны, где ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле? 3. Определите по графику амплитуду, период и частоту колебаний.

1. Дано:

• m = 160 г = 0,16 кг
• N = 45
• t = 36 с

Найти: k - ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Период также можно найти, зная количество колебаний и время:

$$T = \frac{t}{N} = \frac{36}{45} = 0.8 \text{ с}$$

Приравниваем оба выражения для периода:

$$2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 0.8$$

Возводим обе части в квадрат:

$$4\pi^2 \frac{m}{k} = 0.64$$

Выражаем жёсткость пружины k:

$$k = \frac{4\pi^2 m}{0.64} = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.16}{0.64} = \frac{4 \cdot 9.86 \cdot 0.16}{0.64} = 9.86 \text{ Н/м}$$

Ответ: 9.86 Н/м

2. Дано:

• \(
  u_\text{З} = 0.5 \text{ Гц}\) - частота колебаний на Земле
• \(g_\text{Л} = \frac{1}{6} g_\text{З}\) - ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле

Найти: \(
u_\text{Л}\) - частота колебаний на Луне

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Частота колебаний - величина, обратная периоду:

$$
u = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$$

Для Земли:

$$
u_\text{З} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_\text{З}}{l}}$$

Для Луны:

$$
u_\text{Л} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_\text{Л}}{l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_\text{З}}{6l}}$$

Разделим частоту на Луне на частоту на Земле:

$$\frac{
u_\text{Л}}{
u_\text{З}} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_\text{З}}{6l}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_\text{З}}{l}}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$$

Выражаем частоту на Луне:

$$
u_\text{Л} =
u_\text{З} \sqrt{\frac{1}{6}} = 0.5 \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} \approx 0.5 \cdot 0.408 = 0.204 \text{ Гц}$$

Ответ: 0.204 Гц

3. По графику определяем:

• Амплитуда - максимальное отклонение от положения равновесия. По графику амплитуда равна 10.
• Период - время одного полного колебания. По графику период равен 8 с.
• Частота - количество колебаний в единицу времени. Частота обратно пропорциональна периоду: \(
  u = \frac{1}{T} = \frac{1}{8} = 0.125 \text{ Гц}\)

Ответ: Амплитуда - 10, период - 8 с, частота - 0.125 Гц.