δ)/g (35-x²) = 3/g(5-x)

Ответ: x = 2

Пошаговое решение:

Для решения уравнения \[\log (35 - x^3) = \log (5 - x)^3\] нужно использовать свойства логарифмов.

Шаг 1: Упрощаем уравнение, используя свойство логарифмов \(\log a^b = b \log a\).

Уравнение имеет вид: \[\log (35 - x^3) = 3 \log (5 - x)\]

Шаг 2: Представим правую часть уравнения как логарифм степени.

Получаем: \[\log (35 - x^3) = \log (5 - x)^3\]

Шаг 3: Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы.

Имеем: \[35 - x^3 = (5 - x)^3\]

Шаг 4: Раскрываем скобки в правой части уравнения, используя формулу куба разности \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]

Получаем: \[35 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3\]

Шаг 5: Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение.

Имеем: \[0 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3 - 35 + x^3\]

Шаг 6: Упрощаем уравнение, сокращая подобные члены.

Получаем: \[0 = 90 - 75x + 15x^2\]

Шаг 7: Делим обе части уравнения на 15 для упрощения.

Имеем: \[0 = 6 - 5x + x^2\]

Шаг 8: Переписываем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения.

Получаем: \[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Шаг 9: Решаем квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. В данном случае, корни легко находятся по теореме Виета.

Корни уравнения: \[x_1 = 2, \quad x_2 = 3\]

Шаг 10: Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение.

Проверка корня \(x = 2\):

\[\log (35 - 2^3) = \log (35 - 8) = \log (27)\] \[3 \log (5 - 2) = 3 \log (3) = \log (3^3) = \log (27)\]

Корень \(x = 2\) подходит.

Проверка корня \(x = 3\):

\[\log (35 - 3^3) = \log (35 - 27) = \log (8)\] \[3 \log (5 - 3) = 3 \log (2) = \log (2^3) = \log (8)\]

Корень \(x = 3\) подходит.

Шаг 11: Анализируем область определения логарифма: аргумент должен быть больше нуля.

Для \(x = 2\): \[5 - x = 5 - 2 = 3 > 0, \quad 35 - x^3 = 35 - 8 = 27 > 0\]

Для \(x = 3\): \[5 - x = 5 - 3 = 2 > 0, \quad 35 - x^3 = 35 - 27 = 8 > 0\]

Оба корня удовлетворяют условию.

Проверяем, что \(x = 2\) и \(x = 3\) являются решениями исходного уравнения, так как логарифмы определены для обоих значений и \(35 - x^3 > 0\) и \(5 - x > 0\)

Ответ: x = 2

Ответ: x = 2