4°. В равнобедренном треугольнике основание равно 20, а угол между боковыми сторонами равен 120°. Най- дите высоту, проведенную к основанию.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого равно 20, а угол между боковыми сторонами равен 120°. Обозначим данный треугольник как $$ABC$$, где $$AB = BC$$, $$AC = 20$$, $$\angle ABC = 120^\circ$$. Необходимо найти высоту, проведенную к основанию, то есть высоту $$BH$$, где $$H$$ лежит на $$AC$$.

1. Поскольку треугольник равнобедренный, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Таким образом, $$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$$, и $$\angle ABH = \angle CBH = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. В этом треугольнике известны катет $$AH = 10$$ и угол $$\angle ABH = 60^\circ$$. Мы хотим найти катет $$BH$$, который является высотой исходного треугольника. Используем тангенс угла $$\angle ABH$$:

$$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH}$$

$$\tan(60^\circ) = \frac{10}{BH}$$

$$\sqrt{3} = \frac{10}{BH}$$

$$BH = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$$

Таким образом, высота, проведенная к основанию, равна $$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$$