21°. Используя схему вычисления производной по определению, найдите производные следующих функций: 1) y=2x²+3x; 2) y=2x³; 3) y=x³+x; 4) y=2; x 1 5) y=; 6) y=x+1; 7) y=1; 8) y=-1; x³ x+2 2x² 9) y=√x; 10) y=√x+1; 11) y=1; 12) y=√x². √x

Ответ: Решения приведены ниже.

1. y = 2x² + 3x
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = 2(x + Δx)² + 3(x + Δx) - (2x² + 3x) = 2(x² + 2xΔx + (Δx)²) + 3x + 3Δx - 2x² - 3x = 4xΔx + 2(Δx)² + 3Δx
• Δy/Δx = (4xΔx + 2(Δx)² + 3Δx) / Δx = 4x + 2Δx + 3
• y' = lim (4x + 2Δx + 3) при Δx → 0 = 4x + 3
2. y = 2x³
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = 2(x + Δx)³ - 2x³ = 2(x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³) - 2x³ = 6x²Δx + 6x(Δx)² + 2(Δx)³
• Δy/Δx = (6x²Δx + 6x(Δx)² + 2(Δx)³) / Δx = 6x² + 6xΔx + 2(Δx)²
• y' = lim (6x² + 6xΔx + 2(Δx)²) при Δx → 0 = 6x²
3. y = x³ + x
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = (x + Δx)³ + (x + Δx) - (x³ + x) = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ + x + Δx - x³ - x = 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ + Δx
• Δy/Δx = (3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ + Δx) / Δx = 3x² + 3xΔx + (Δx)² + 1
• y' = lim (3x² + 3xΔx + (Δx)² + 1) при Δx → 0 = 3x² + 1
4. y = 2/x
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = 2/(x + Δx) - 2/x = (2x - 2(x + Δx)) / (x(x + Δx)) = -2Δx / (x(x + Δx))
• Δy/Δx = (-2Δx / (x(x + Δx))) / Δx = -2 / (x(x + Δx))
• y' = lim (-2 / (x(x + Δx))) при Δx → 0 = -2 / x²
5. y = 1/x³
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = 1/(x + Δx)³ - 1/x³ = (x³ - (x + Δx)³) / (x³(x + Δx)³) = (x³ - (x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³)) / (x³(x + Δx)³) = (-3x²Δx - 3x(Δx)² - (Δx)³) / (x³(x + Δx)³)
• Δy/Δx = ((-3x²Δx - 3x(Δx)² - (Δx)³) / (x³(x + Δx)³)) / Δx = (-3x² - 3xΔx - (Δx)²) / (x³(x + Δx)³)
• y' = lim ((-3x² - 3xΔx - (Δx)²) / (x³(x + Δx)³)) при Δx → 0 = -3x² / x⁶ = -3 / x⁴
6. y = x / (x + 1)
• y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
• Δy = (x + Δx) / (x + Δx + 1) - x / (x + 1) = ((x + Δx)(x + 1) - x(x + Δx + 1)) / ((x + 1)(x + Δx + 1)) = (x² + x + xΔx + Δx - x² - xΔx - x) / ((x + 1)(x + Δx + 1)) = Δx / ((x + 1)(x + Δx + 1))
• Δy/Δx = (Δx / ((x + 1)(x + Δx + 1))) / Δx = 1 / ((x + 1)(x + Δx + 1))
• y' = lim (1 / ((x + 1)(x + Δx + 1))) при Δx → 0 = 1 / (x + 1)²
7. y = x / (x + 2)
8. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
9. Δy = (x + Δx) / (x + Δx + 2) - x / (x + 2) = ((x + Δx)(x + 2) - x(x + Δx + 2)) / ((x + 2)(x + Δx + 2)) = (x² + 2x + xΔx + 2Δx - x² - xΔx - 2x) / ((x + 2)(x + Δx + 2)) = 2Δx / ((x + 2)(x + Δx + 2))
10. Δy/Δx = (2Δx / ((x + 2)(x + Δx + 2))) / Δx = 2 / ((x + 2)(x + Δx + 2))
11. y' = lim (2 / ((x + 2)(x + Δx + 2))) при Δx → 0 = 2 / (x + 2)²
12. y = -1/(2x²)
13. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
14. Δy = -1/(2(x + Δx)²) + 1/(2x²) = (-x² + (x + Δx)²) / (2x²(x + Δx)²) = (-x² + x² + 2xΔx + (Δx)²) / (2x²(x + Δx)²) = (2xΔx + (Δx)²) / (2x²(x + Δx)²)
15. Δy/Δx = ((2xΔx + (Δx)²) / (2x²(x + Δx)²)) / Δx = (2x + Δx) / (2x²(x + Δx)²)
16. y' = lim ((2x + Δx) / (2x²(x + Δx)²)) при Δx → 0 = 2x / (2x⁴) = 1 / x³
17. y = √x
18. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
19. Δy = √(x + Δx) - √x = (√(x + Δx) - √x) * (√(x + Δx) + √x) / (√(x + Δx) + √x) = (x + Δx - x) / (√(x + Δx) + √x) = Δx / (√(x + Δx) + √x)
20. Δy/Δx = (Δx / (√(x + Δx) + √x)) / Δx = 1 / (√(x + Δx) + √x)
21. y' = lim (1 / (√(x + Δx) + √x)) при Δx → 0 = 1 / (2√x)
22. y = √(x + 1)
23. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
24. Δy = √(x + Δx + 1) - √(x + 1) = (√(x + Δx + 1) - √(x + 1)) * (√(x + Δx + 1) + √(x + 1)) / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1)) = (x + Δx + 1 - x - 1) / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1)) = Δx / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1))
25. Δy/Δx = (Δx / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1))) / Δx = 1 / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1))
26. y' = lim (1 / (√(x + Δx + 1) + √(x + 1))) при Δx → 0 = 1 / (2√(x + 1))
27. y = 1/√x
28. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
29. Δy = 1/√(x + Δx) - 1/√x = (√x - √(x + Δx)) / (√(x(x + Δx))) = (√x - √(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx)) / ((√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx))) = (x - x - Δx) / (√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx))) = -Δx / (√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx)))
30. Δy/Δx = (-Δx / (√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx)))) / Δx = -1 / (√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx)))
31. y' = lim (-1 / (√(x(x + Δx)) * (√x + √(x + Δx)))) при Δx → 0 = -1 / (√(x²) * (√x + √x)) = -1 / (x * 2√x) = -1 / (2x√x)
32. y = ³√x²
33. y' = lim (Δy/Δx) при Δx → 0
34. Δy = ³√((x + Δx)²) - ³√x²
Чтобы найти предел для этого случая, может потребоваться использование более сложных методов, таких как преобразование выражения или использование правила Лопиталя, в зависимости от контекста и требуемой строгости вычислений. Точное вычисление этого предела выходит за рамки простых алгебраических манипуляций и требует более глубокого анализа.

Ответ: Решения приведены выше.