610.° Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а коси- нус одного из острых углов - 0,8. Найдите катеты треугольника. 611.° Катет прямоугольного треугольника равен 48 см, а тангенс 3 противолежащего угла 3-. Найдите другой катет и гипоте- 7 нузу треугольника. 612.° В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тангенс прилежащего угла 0,75. Найдите другой катет и гипотенузу треугольника. 613.° Решите прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе и острому углу: с = 28 см, а = 48°; 2) по катету и острому углу: а = 56 см, в = 74°; 3) по катету и гипотенузе: а = 5 см, с = 9 см; 4) по двум катетам: а = 3 см, 6 = 7 см. 614.° Решите прямоугольный треугольник по известным элементам: 1) а = 34 см, а = 55°; 3) b = 12 см, с = 13 см; 2) с = 16 см, в = 18°; 4) а = 4 см, в = 14 см.

610

• Дано: гипотенуза c = 10 см, косинус острого угла cos(α) = 0.8
• Найти: катеты треугольника a и b

Решение:

• Шаг 1: Находим один из катетов (a) через косинус угла: \[ cos(\alpha) = \frac{a}{c} \] \[ a = c \cdot cos(\alpha) = 10 \cdot 0.8 = 8 \text{ см} \]
• Шаг 2: Находим другой катет (b) через теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Ответ: a = 8 см, b = 6 см

611

• Дано: катет a = 48 см, тангенс противолежащего угла tg(α) = 3 3/7 = 24/7
• Найти: другой катет b и гипотенузу c

Решение:

• Шаг 1: Находим другой катет (b) через тангенс угла: \[ tg(\alpha) = \frac{a}{b} \] \[ b = \frac{a}{tg(\alpha)} = \frac{48}{\frac{24}{7}} = \frac{48 \cdot 7}{24} = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} \]
• Шаг 2: Находим гипотенузу (c) через теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \text{ см} \]

Ответ: b = 14 см, c = 50 см

612

• Дано: катет b = 12 см, тангенс прилежащего угла tg(β) = 0.75 = 3/4
• Найти: другой катет a и гипотенузу c

Решение:

• Шаг 1: Находим другой катет (a) через тангенс угла: \[ tg(\beta) = \frac{b}{a} \] \[ a = \frac{b}{tg(\beta)} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см} \]
• Шаг 2: Находим гипотенузу (c) через теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ см} \]

Ответ: a = 16 см, c = 20 см

613

Решение прямоугольного треугольника:

1. по гипотенузе и острому углу: c = 28 см, α = 48°

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 48° = 42°\]

• Находим катет a:

\[a = c \cdot sin(\alpha) = 28 \cdot sin(48°) ≈ 28 \cdot 0.7431 ≈ 20.81 \text{ см}\]

• Находим катет b:

\[b = c \cdot cos(\alpha) = 28 \cdot cos(48°) ≈ 28 \cdot 0.6691 ≈ 18.73 \text{ см}\]

Ответ: β ≈ 42°, a ≈ 20.81 см, b ≈ 18.73 см

2. по катету и острому углу: a = 56 см, β = 74°

• Находим угол α:

\[\alpha = 90° - \beta = 90° - 74° = 16°\]

• Находим катет b:

\[b = a \cdot tg(\beta) = 56 \cdot tg(74°) ≈ 56 \cdot 3.4874 ≈ 195.29 \text{ см}\]

• Находим гипотенузу c:

\[c = \frac{a}{cos(\beta)} = \frac{56}{cos(74°)} ≈ \frac{56}{0.2756} ≈ 203.20 \text{ см}\]

Ответ: α ≈ 16°, b ≈ 195.29 см, c ≈ 203.20 см

3. по катету и гипотенузе: a = 5 см, c = 9 см

• Находим катет b:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{81 - 25} = \sqrt{56} ≈ 7.48 \text{ см}\]

• Находим угол α:

\[\alpha = arcsin(\frac{a}{c}) = arcsin(\frac{5}{9}) ≈ arcsin(0.5556) ≈ 33.75°\]

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 33.75° ≈ 56.25°\]

Ответ: b ≈ 7.48 см, α ≈ 33.75°, β ≈ 56.25°

4. по двум катетам: a = 3 см, b = 7 см

• Находим гипотенузу c:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} ≈ 7.62 \text{ см}\]

• Находим угол α:

\[\alpha = arctg(\frac{a}{b}) = arctg(\frac{3}{7}) ≈ arctg(0.4286) ≈ 23.20°\]

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 23.20° ≈ 66.80°\]

Ответ: c ≈ 7.62 см, α ≈ 23.20°, β ≈ 66.80°

614

Решение прямоугольного треугольника по известным элементам:

1. a = 34 см, α = 55°

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 55° = 35°\]

• Находим катет b:

\[b = a \cdot ctg(\alpha) = 34 \cdot ctg(55°) ≈ 34 \cdot 0.7002 ≈ 23.81 \text{ см}\]

• Находим гипотенузу c:

\[c = \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{34}{sin(55°)} ≈ \frac{34}{0.8192} ≈ 41.50 \text{ см}\]

Ответ: β = 35°, b ≈ 23.81 см, c ≈ 41.50 см

2. c = 16 см, β = 18°

• Находим угол α:

\[\alpha = 90° - \beta = 90° - 18° = 72°\]

• Находим катет a:

\[a = c \cdot sin(\alpha) = 16 \cdot sin(72°) ≈ 16 \cdot 0.9511 ≈ 15.22 \text{ см}\]

• Находим катет b:

\[b = c \cdot cos(\alpha) = 16 \cdot cos(72°) ≈ 16 \cdot 0.3090 ≈ 4.94 \text{ см}\]

Ответ: α = 72°, a ≈ 15.22 см, b ≈ 4.94 см

3. b = 12 см, c = 13 см

• Находим катет a:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]

• Находим угол α:

\[\alpha = arcsin(\frac{a}{c}) = arcsin(\frac{5}{13}) ≈ arcsin(0.3846) ≈ 22.62°\]

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 22.62° ≈ 67.38°\]

Ответ: a = 5 см, α ≈ 22.62°, β ≈ 67.38°

4. a = 4 см, b = 14 см

• Находим гипотенузу c:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} ≈ 14.56 \text{ см}\]

• Находим угол α:

\[\alpha = arctg(\frac{a}{b}) = arctg(\frac{4}{14}) ≈ arctg(0.2857) ≈ 15.95°\]

• Находим угол β:

\[\beta = 90° - \alpha = 90° - 15.95° ≈ 74.05°\]

Ответ: c ≈ 14.56 см, α ≈ 15.95°, β ≈ 74.05°