\sqrt{x + 6 - x^2}\over{2x + 5} \ge \sqrt{x + 6 - x^2}\over{x + 4}

Ответ: Решением неравенства является отрезок [-2, 3], а также x ≠ -2.5 и x ≠ -4.

Шаг 1: Находим область определения функции.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \[x + 6 - x^2 \ge 0\]

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: \[x^2 - x - 6 \le 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[x^2 - x - 6 = 0\]

Находим корни уравнения:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2\]

Решением неравенства является отрезок: \[-2 \le x \le 3\]

Знаменатели не должны равняться нулю:

\[2x + 5
e 0 \Rightarrow x
e -2.5\]

\[x + 4
e 0 \Rightarrow x
e -4\]

Учитывая область определения, x ≠ -4 не входит в область определения.

Шаг 2: Переносим все в одну сторону неравенства.

\[\frac{\sqrt{x + 6 - x^2}}{2x + 5} - \frac{\sqrt{x + 6 - x^2}}{x + 4} \ge 0\]

Шаг 3: Выносим общий множитель.

\[\sqrt{x + 6 - x^2} \cdot (\frac{1}{2x + 5} - \frac{1}{x + 4}) \ge 0\]

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю.

\[\sqrt{x + 6 - x^2} \cdot \frac{(x + 4) - (2x + 5)}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0\]

\[\sqrt{x + 6 - x^2} \cdot \frac{x + 4 - 2x - 5}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0\]

\[\sqrt{x + 6 - x^2} \cdot \frac{-x - 1}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0\]

Шаг 5: Анализируем знаки.

Квадратный корень всегда неотрицателен. Значит, чтобы произведение было неотрицательным, дробь должна быть неотрицательной.

\[\frac{-x - 1}{(2x + 5)(x + 4)} \ge 0\]

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:

\[\frac{x + 1}{(2x + 5)(x + 4)} \le 0\]

Находим нули числителя и знаменателя:

\[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\]

\[2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -2.5\]

\[x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\]

Шаг 6: Метод интервалов.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знаки на каждом интервале, учитывая область определения \[-2 \le x \le 3\] и исключая \[x
e -2.5\] и x ≠ -4.

Интервалы: (-∞, -4), (-4, -2.5), (-2.5, -1], [-1, 3].

Принадлежащие интервалы, где неравенство выполняется: (-4, -2.5), [-1, 3].

Учитываем, что x = -2 и x = 3 также являются решениями (значение под корнем равно нулю).

Ответ: Решением неравенства является отрезок [-2, 3], а также x ≠ -2.5 и x ≠ -4.

Ответ: Решением неравенства является отрезок [-2, 3], а также x ≠ -2.5 и x ≠ -4.