6) $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin \frac{x}{2} dx$$;

Ответ: 0.586

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Замена переменной

   Введем замену переменной: \[ t = \frac{x}{2} \]

   Тогда: \[ dt = \frac{1}{2} dx \Rightarrow dx = 2 dt \]

   Изменим пределы интегрирования:

   • Нижний предел: \[ x = 0 \Rightarrow t = \frac{0}{2} = 0 \]
   • Верхний предел: \[ x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4} \]

2. Шаг 2: Интегрирование

   Подставим новую переменную и пределы в интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(t) \cdot 2 dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(t) dt \]

   Интеграл от синуса равен минус косинусу: \[ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(t) dt = -2 \cos(t) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} \]

3. Шаг 3: Вычисление пределов

   Подставим пределы интегрирования: \[ -2 \cos(t) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -2 \left( \cos \frac{\pi}{4} - \cos 0 \right) \]

   Известно, что \[ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] и \[ \cos 0 = 1 \], поэтому: \[ -2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right) = -\sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2} \]

4. Шаг 4: Округление

   \[ 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586 \]

Ответ: 0.586