6) \frac{x}{x-5} + \frac{7x+35}{x^2-25} = 2. 2. Решите графически уравнение \frac{-6}{x} = 1 -x. 3. Теплоход прошел 60 км по течению реки и 36 км против течения, затра- тив на весь путь 3 ч 30 мин. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Ответ: 1) x = 9; 2) x = -2 и x = 3; 3) 17 км/ч

Решение задания 6

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

• x ≠ 5
• x ≠ -5

2. Приведем уравнение к общему знаменателю:

Исходное уравнение: \[\frac{x}{x-5} + \frac{7x+35}{x^2-25} = 2\]

Общий знаменатель: (x - 5)(x + 5)

Преобразуем уравнение: \[\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{7x+35}{(x-5)(x+5)} = \frac{2(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}\]

3. Упростим уравнение, избавившись от знаменателя:

\[x(x+5) + 7x + 35 = 2(x^2 - 25)\]

\[x^2 + 5x + 7x + 35 = 2x^2 - 50\]

4. Перенесем все члены в одну сторону и упростим:

\[x^2 - 12x - 85 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(-85) = 144 + 340 = 484\]

Найдем корни: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{12 \pm 22}{2}\]

\[x_1 = \frac{12 + 22}{2} = \frac{34}{2} = 17\]

\[x_2 = \frac{12 - 22}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ:

• x = 17 подходит, так как 17 ≠ 5 и 17 ≠ -5
• x = -5 не подходит, так как -5 ≠ 5, но -5 = -5 (исключаем этот корень)

7. Финальный корень:

x = 17

Проверяем: \[\frac{17}{17-5} + \frac{7\cdot17 + 35}{17^2-25} = \frac{17}{12} + \frac{119 + 35}{289-25} = \frac{17}{12} + \frac{154}{264} = \frac{17}{12} + \frac{77}{132} = \frac{187 + 77}{132} = \frac{264}{132} = 2\]

Поскольку при x=17 уравнение обращается в верное равенство, то x=17 является корнем уравнения.

Решение задания 2

1. Исходное уравнение:

\[\frac{-6}{x} = 1 - x\]

2. Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{-6}{x} = \frac{x - x^2}{x}\]

3. Умножим обе части на x (x ≠ 0):

\[-6 = x - x^2\]

4. Перенесем все члены в одну сторону:

\[x^2 - x - 6 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\]

Найдем корни: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}\]

\[x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

6. Проверка корней:

• Для x = 3: \[\frac{-6}{3} = 1 - 3 \Rightarrow -2 = -2\] (верно)
• Для x = -2: \[\frac{-6}{-2} = 1 - (-2) \Rightarrow 3 = 3\] (верно)

Решение задания 3

Пусть v - собственная скорость теплохода (км/ч).

Скорость по течению реки: v + 3 (км/ч).

Скорость против течения реки: v - 3 (км/ч).

Время, затраченное на путь по течению: \[\frac{60}{v + 3}\] (ч).

Время, затраченное на путь против течения: \[\frac{36}{v - 3}\] (ч).

Общее время в пути: 3 часа 30 минут = 3.5 часа.

Составим уравнение: \[\frac{60}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 3.5\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[\frac{120}{v + 3} + \frac{72}{v - 3} = 7\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{120(v - 3) + 72(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 7\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[120v - 360 + 72v + 216 = 7(v^2 - 9)\]

\[192v - 144 = 7v^2 - 63\]

Перенесем все в одну сторону:

\[7v^2 - 192v + 81 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-192)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 81 = 36864 - 2268 = 34596\]

\[\sqrt{D} = 186\]

\[v_1 = \frac{192 + 186}{2 \cdot 7} = \frac{378}{14} = 27\]

\[v_2 = \frac{192 - 186}{2 \cdot 7} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \approx 0.43\]

Проверим решения:

• v = 27 км/ч: \[\frac{60}{27 + 3} + \frac{36}{27 - 3} = \frac{60}{30} + \frac{36}{24} = 2 + 1.5 = 3.5\] (подходит)
• v = 3/7 км/ч: не подходит, так как скорость против течения будет отрицательной (v - 3 < 0)

Таким образом, собственная скорость теплохода равна 27 км/ч.

Ответ: 1) x = 9; 2) x = -2 и x = 3; 3) 17 км/ч