6. $$\frac{x^2-2x}{4}-\frac{x-5}{8}=1$$

Для решения данного уравнения, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет 8. Умножим первую дробь на 2, чтобы знаменатель стал равен 8.

$$\frac{2(x^2-2x)}{8}-\frac{x-5}{8}=1$$

Теперь раскроем скобки в числителе первой дроби:

$$\frac{2x^2-4x}{8}-\frac{x-5}{8}=1$$

Объединим дроби:

$$\frac{2x^2-4x-(x-5)}{8}=1$$

Раскроем скобки в числителе, учитывая минус перед скобкой:

$$\frac{2x^2-4x-x+5}{8}=1$$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$\frac{2x^2-5x+5}{8}=1$$

Теперь умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2x^2-5x+5=8$$

Перенесем 8 в левую часть уравнения:

$$2x^2-5x+5-8=0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$2x^2-5x-3=0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49$$

Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2*2} = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2*2} = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{2}$$