6) $$\frac{1+i}{1-i}$$

Чтобы упростить выражение $$\frac{1+i}{1-i}$$, нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателя, то есть на $$(1+i)$$.

$$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$

Умножим числитель:

$$(1+i)(1+i) = 1 + i + i + i^2 = 1 + 2i + i^2$$

Так как $$i^2 = -1$$, то числитель равен:

$$1 + 2i - 1 = 2i$$

Теперь умножим знаменатель:

$$(1-i)(1+i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - i^2$$

Так как $$i^2 = -1$$, то знаменатель равен:

$$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$

Теперь у нас есть:

$$\frac{2i}{2}$$

Сократим дробь:

$$\frac{2i}{2} = i$$

Таким образом,

$$\frac{1+i}{1-i} = $$

i