\frac{\log_2(2x^2 - 17x + 35) - 1}{\log_7(x + 6)} \leq 0.

Ответ: x \(\in\) (-6; -5.5] \(\cup\) (3.5; 4]

Шаг 1: Находим область допустимых значений (ОДЗ)

• Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\[2x^2 - 17x + 35 > 0\]\[x + 6 > 0\]

• Основание логарифма не должно равняться 1:

\[x + 6
eq 1\]

Шаг 2: Решаем неравенство для первого логарифма

\[2x^2 - 17x + 35 > 0\]

Находим корни квадратного уравнения:

\[2x^2 - 17x + 35 = 0\]\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 289 - 280 = 9\]\[x_1 = \frac{17 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 3}{4} = \frac{14}{4} = 3.5\]\[x_2 = \frac{17 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 3}{4} = \frac{20}{4} = 5\]

Следовательно, \(2x^2 - 17x + 35 > 0\) при \(x < 3.5\) или \(x > 5\).

Шаг 3: Решаем неравенство для второго логарифма

\[x + 6 > 0\]\[x > -6\]

Шаг 4: Решаем условие для основания логарифма

\[x + 6
eq 1\]\[x
eq -5\]

Шаг 5: Находим пересечение всех условий ОДЗ

Объединяем полученные условия:

\[x > -6\]\[x
eq -5\]\[x < 3.5 \text{ или } x > 5\]

Таким образом, ОДЗ: \((-6; -5) \cup (-5; 3.5) \cup (5; +\infty)\)

Шаг 6: Преобразуем исходное неравенство

\[\frac{\log_2(2x^2 - 17x + 35) - 1}{\log_7(x + 6)} \leq 0\]

Заменим 1 на \(\log_2 2\):

\[\frac{\log_2(2x^2 - 17x + 35) - \log_2 2}{\log_7(x + 6)} \leq 0\]\[\frac{\log_2(\frac{2x^2 - 17x + 35}{2})}{\log_7(x + 6)} \leq 0\]

Шаг 7: Рассмотрим два случая для знаменателя

Случай 1: \(\log_7(x + 6) > 0\)

\[x + 6 > 1\]\[x > -5\]

Тогда числитель должен быть неположительным:

\[\log_2(\frac{2x^2 - 17x + 35}{2}) \leq 0\]\[\frac{2x^2 - 17x + 35}{2} \leq 1\]\[2x^2 - 17x + 35 \leq 2\]\[2x^2 - 17x + 33 \leq 0\]

Находим корни квадратного уравнения:

\[2x^2 - 17x + 33 = 0\]\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25\]\[x_1 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\]\[x_2 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 5}{4} = \frac{22}{4} = 5.5\]

Следовательно, \(2x^2 - 17x + 33 \leq 0\) при \(3 \leq x \leq 5.5\).

Учитывая условие \(x > -5\), получаем \(x \in (5; 5.5]\)

Случай 2: \(\log_7(x + 6) < 0\)

\[x + 6 < 1\]\[x < -5\]

Тогда числитель должен быть неотрицательным:

\[\log_2(\frac{2x^2 - 17x + 35}{2}) \geq 0\]\[\frac{2x^2 - 17x + 35}{2} \geq 1\]\[2x^2 - 17x + 35 \geq 2\]\[2x^2 - 17x + 33 \geq 0\]

Как было найдено выше, \(2x^2 - 17x + 33 = 0\) при \(x = 3\) и \(x = 5.5\).

Следовательно, \(2x^2 - 17x + 33 \geq 0\) при \(x \leq 3\) или \(x \geq 5.5\).

Учитывая условие \(x < -5\), получаем \(x \in (-6; -5.5]\)

Шаг 8: Объединяем решения из обоих случаев

Объединяем полученные интервалы:

\[x \in (-6; -5.5] \cup (3.5; 4]\]

Ответ: x \(\in\) (-6; -5.5] \(\cup\) (3.5; 4]