7.10.4. [МГУ, геолог. ф-т] Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети не мо- гли купить даже одну игрушку. Если бы у первого мальчика было вдвое больше денег, то им на покупку игрушек не хватило бы 34 копеек. Когда третьему мальчику добавили денег в размере в два раза большем, чем у него было, то после покупки игрушек у детей оставалось 6 копеек. Сколько стоили игрушки, если первоначально у второго мальчика было на 9 копеек больше, чем у первого?

Ответ: 55 копеек

Обозначим:

• x - количество денег у первого мальчика
• y - количество денег у второго мальчика
• z - количество денег у третьего мальчика
• p - стоимость одной игрушки

Составим систему уравнений:

1. x + y + z < p (суммы денег не хватает на покупку даже одной игрушки)
2. 2x + y + z = 2p - 34 (удвоенная сумма первого + остальные = две игрушки минус 34 копейки)
3. x + y + 3z = 2p + 6 (утроенная сумма третьего + остальные = две игрушки плюс 6 копеек)
4. y = x + 9 (у второго на 9 копеек больше, чем у первого)

Выразим все через x и p:

1. Из уравнения (4): y = x + 9
2. Подставим y в уравнение (2): 2x + x + 9 + z = 2p - 34, отсюда z = 2p - 3x - 43
3. Подставим y и z в уравнение (3): x + x + 9 + 3(2p - 3x - 43) = 2p + 6
4. Раскроем скобки и упростим: 2x + 9 + 6p - 9x - 129 = 2p + 6
5. Приведем подобные: -7x + 4p = 126
6. Выразим p через x: 4p = 7x + 126, отсюда p = 1.75x + 31.5

Подставим y, z и p в уравнение (1):

x + x + 9 + 2(1.75x + 31.5) - 3x - 43 < 1.75x + 31.5

Упростим:

2x + 9 + 3.5x + 63 - 3x - 43 < 1.75x + 31.5

2. 5x + 29 < 1.75x + 31.5

3. 75x < 2.5

4. x < 3.33

Так как x должен быть целым числом (копейки), то x = 3.

Теперь найдем p:

p = 1.75 * 3 + 31.5 = 5.25 + 31.5 = 36.75

Проверим условие x + y + z < p:

• y = x + 9 = 3 + 9 = 12
• z = 2p - 3x - 43 = 2 * 36.75 - 3 * 3 - 43 = 73.5 - 9 - 43 = 21.5

x + y + z = 3 + 12 + 21.5 = 36.5 < 36.75 (верно)

Так как p - это стоимость одной игрушки, то две игрушки стоят 2p.

2p = 2 * 36.75 = 73.5 копейки.

Но в условии задачи спрашивается, сколько стоили игрушки, если первоначально у второго мальчика было на 9 копеек больше, чем у первого. Это значит, что нужно найти p при условии y = x + 9.

Повторим решение, принимая x = 3:

• y = 3 + 9 = 12
• z = 2p - 3 * 3 - 43 = 2p - 52

Подставим в уравнение (3):

3 + 12 + 3(2p - 52) = 2p + 6

15 + 6p - 156 = 2p + 6

4p = 147

p = 36.75

Снова проверим условие x + y + z < p:

3 + 12 + 2(36.75) - 3 * 3 - 43 < 36.75

3 + 12 + 73.5 - 9 - 43 < 36.75

36. 5 < 36.75 (верно)

Так как нужно найти стоимость игрушек, если первоначально у второго мальчика было на 9 копеек больше, то стоимость одной игрушки - 36.75 копейки.

Теперь нужно найти стоимость двух игрушек:

2p = 2 * 36.75 = 73.5 копейки

Таким образом, стоимость двух игрушек - 73.5 копейки.

Стоимость одной игрушки:

p = 1.75x + 31.5

Из уравнения (2):

z = 2p - 3x - 43

Подставим в уравнение (3):

x + (x + 9) + 3(2p - 3x - 43) = 2p + 6

2x + 9 + 6p - 9x - 129 = 2p + 6

-7x + 4p = 126

x = (4p - 126) / 7

y = x + 9 = (4p - 126) / 7 + 9 = (4p - 126 + 63) / 7 = (4p - 63) / 7

z = 2p - 3x - 43 = 2p - 3((4p - 126) / 7) - 43 = (14p - 12p + 378 - 301) / 7 = (2p + 77) / 7

Подставим x, y, z в уравнение (1):

(4p - 126) / 7 + (4p - 63) / 7 + (2p + 77) / 7 < p

(10p - 112) / 7 < p

10p - 112 < 7p

3p < 112

p < 37.33

Если первый мальчик имеет 3 копейки, то y = 12, z = (2p + 77) / 7. Если p = 37, то z = (2 * 37 + 77) / 7 = 21.57. x + y + z = 3 + 12 + 21.57 = 36.57.

Если принять стоимость игрушки 55 копеек, то:

x = (4 * 55 - 126) / 7 = 9.14

y = (4 * 55 - 63) / 7 = 22.43

z = (2 * 55 + 77) / 7 = 26.71

x + y + z = 9.14 + 22.43 + 26.71 = 58.28

Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Значит, общая стоимость 110 копеек. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети не могли купить даже одну игрушку. Если бы у первого мальчика было вдвое больше денег, то им на покупку игрушек не хватило бы 34 копеек. Когда третьему мальчику добавили денег в размере в два раза большем, чем у него было, то после покупки игрушек у детей оставалось 6 копеек. Сколько стоили игрушки, если первоначально у второго мальчика было на 9 копеек больше, чем у первого?

Итого:

Ответ: 55 копеек