В кубе A₁B₁C₁D₁ABCD все рёбра равны 4. На его ребре B₁B отмечена точка K так, что KB = 3. Найдите угол между плоскостью KC₁D и прямой AB₁. Варианты: а) 45°; б) 30°; в) 0°; г) 90°.

Введём координаты, считая ребро куба равным 4: A(0; 0; 0), B(4; 0; 0), C(4; 4; 0), D(0; 4; 0), B₁(4; 0; 4), C₁(4; 4; 4). Так как KB = 3, точка K имеет координаты (4; 0; 3).

Направляющий вектор прямой AB₁: \(\vec v=(4;0;4)\). Векторы в плоскости KC₁D: \(\overrightarrow{KC_1}=(0;4;1)\), \(\overrightarrow{KD}=(-4;4;-3)\).

Нормаль к плоскости найдём векторным произведением: \(\vec n=\overrightarrow{KC_1}\times\overrightarrow{KD}=(-16;-4;16)\).

Проверим перпендикулярность направления прямой нормали: \(\vec v\cdot\vec n=4\cdot(-16)+0\cdot(-4)+4\cdot16=0\). Значит, прямая AB₁ параллельна плоскости KC₁D, и угол между ними равен 0°.

Ответ: в) 0°.