Так как AC — диаметр, то угол ABC, опирающийся на диаметр, равен 90°.

В треугольнике ABC: \( \angle ABC = 90^\circ \), \( \angle ACB = 66^\circ \).

\( \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \).

Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).

Углы BAC и BDC являются вписанными углами, опирающимися на одну дугу BC. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BAC = 24^\circ \).

Рассмотрим треугольник BOC.

\( OB = OC \) (радиусы окружности), значит, треугольник BOC — равнобедренный.

\( \angle OBC = \angle OCB \).

Угол ACB = 66°, значит, \( \angle OCB = 66^\circ \).

\( \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) \).

Из того, что AC — диаметр, \( \angle ABC = 90^\circ \).

\( \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \).

Так как BD — диаметр, то \( \angle BCD = 90^\circ \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \)

\( 90^\circ = 66^\circ + \angle ACD \)

\( \angle ACD = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \).

\( \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - \angle BDA \).

Углы AOD и BOC — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \).

В треугольнике BOC: \( OB = OC \) (радиусы). \( \angle OCB = 66^\circ \).

\( \angle OBC = \angle OCB = 66^\circ \).

\( \angle BOC = 180^\circ - (66^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \).

Значит, \( \angle AOD = 48^\circ \).

Проверка:

\( \angle BAC = 24^\circ \).

\( \angle CAD = \angle BAD - \angle BAC \).

В треугольнике AOD: \( OA = OD \) (радиусы). \( \angle OAD = \angle ODA \).

\( \angle AOD = 48^\circ \).

\( \angle OAD = \angle ODA = \frac{180^\circ - 48^\circ}{2} = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ \).

\( \angle CAD = 66^\circ \).

\( \angle BAC = 24^\circ \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 24^\circ + 66^\circ = 90^\circ \).

В треугольнике ABD: \( \angle BAD = 90^\circ \), \( \angle ABD \) и \( \angle ADB \).

\( \angle ADB = \angle ODA = 66^\circ \).

\( \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \).

Угол ACB = 66°.

Угол ABD = 24°.

Угол BDC = 24°.

Угол CAD = 66°.

Верно.

Ответ: 48

Поделись с друзьями