Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). Угол при вершине \( \angle B = 120^{\circ} \).

Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Пусть \( BH \) — высота, проведённая к боковой стороне \( AC \), \( BH = 6 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BHC \). В нём \( \angle BCH = 30^{\circ} \) и \( BH = 6 \) см (катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \)).

По свойству катета, противолежащего углу в \( 30^{\circ} \), он равен половине гипотенузы: \( BH = \frac{1}{2} BC \).

\( BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 6 = 12 \) см. Значит, боковая сторона \( BC = BA = 12 \) см.

Теперь найдём основание \( AC \) с помощью теоремы косинусов для \( \triangle ABC \) или через синус угла \( A \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle BHC \) (где \( H \) — точка на \( AC \) такая, что \( BH \perp AC \)).

Способ 1: Через высоту.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BHA \). \( \angle BAH = 30^{\circ} \), \( BA = 12 \) см.

\( AH = BA \cdot \cos(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

Основание \( AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) см.

Способ 2: Теорема косинусов.

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \)

\( AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(120^{\circ}) \)

\( AC^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( AC^2 = 288 + 144 = 432 \)

\( AC = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 12\sqrt{3} \) см.

Поделись с друзьями