Задание 18. Площадь треугольника на клетчатой бумаге

Чтобы найти площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать метод подсчета полных клеток и половин клеток, или же определить координаты вершин и использовать формулу площади треугольника по координатам, или же вписать треугольник в прямоугольник.

Метод 1: Подсчет клеток

1. Подсчитаем количество полных клеток внутри треугольника: 6 полных клеток.

2. Подсчитаем количество клеток, которые являются половинами: 6 половин клеток.

3. Площадь треугольника = (количество полных клеток) + (количество половин клеток) / 2

Площадь = \( 6 + \frac{6}{2} = 6 + 3 = 9 \) квадратных единиц.

Метод 2: Вписывание в прямоугольник

1. Определим размеры прямоугольника, в который вписан треугольник. По горизонтали: 6 клеток. По вертикали: 6 клеток.

2. Площадь большого прямоугольника = \( 6 × 6 = 36 \) квадратных единиц.

3. Теперь вычтем площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся вне искомого треугольника, но внутри большого прямоугольника.

Треугольник 1 (внизу слева): катеты 2 клетки и 5 клеток. Площадь = \( \frac{1}{2} × 2 × 5 = 5 \).
Треугольник 2 (сверху слева): катеты 1 клетка и 6 клеток. Площадь = \( \frac{1}{2} × 1 × 6 = 3 \).
Треугольник 3 (внизу справа): катеты 1 клетка и 1 клетка. Площадь = \( \frac{1}{2} × 1 × 1 = 0.5 \).

4. Площадь искомого треугольника = Площадь большого прямоугольника - Сумма площадей маленьких треугольников.

Площадь = \( 36 - (5 + 3 + 0.5) = 36 - 8.5 = 27.5 \) квадратных единиц.

Проверка: Кажется, что первый метод дал другой результат. Давайте пересчитаем клетки внимательнее.

Пересчет клеток:

Полные клетки: 5 (внутри).
Половинные клетки: 8 (на границах).
Площадь = \( 5 + \frac{8}{2} = 5 + 4 = 9 \) квадратных единиц.

Определение координат вершин:

Пусть нижний левый угол бумаги — это точка (0,0).

Вершина 1: (2, 1)
Вершина 2: (8, 6)
Вершина 3: (3, 7)

Используем формулу площади через координаты: \( S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(6 - 7) + 8(7 - 1) + 3(1 - 6))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(-1) + 8(6) + 3(-5))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(-2 + 48 - 15)| \)

\( S = \frac{1}{2} |31| = 15.5 \)

Анализ ошибок:

При подсчете клеток важно быть очень внимательным. Метод с прямоугольником также требует аккуратности. Ошибка, скорее всего, в определении вершин или в вычислениях. Давайте еще раз посмотрим на сетку. Сторона треугольника по сетке:

Горизонтальный катет: 6 клеток.
Вертикальный катет: 5 клеток.
Гипотенуза: построим прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5.

Если предположить, что треугольник прямоугольный (что не очевидно из рисунка), то площадь была бы \( \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \). Но он не прямоугольный.

Попробуем метод Пика для многоугольников на сетке: \( S = I + \frac{B}{2} - 1 \), где \( I \) - число внутренних точек, \( B \) - число точек на границе.

Внутренние точки: 5
Точки на границе: 8
\( S = 5 + \frac{8}{2} - 1 = 5 + 4 - 1 = 8 \).

Судя по всему, самый надежный метод — подсчет клеток. Пересчитаем еще раз.

Полные клетки: 5.
Частичные клетки: 8.
Площадь = \( 5 + \frac{8}{2} = 5 + 4 = 9 \).

Проверим прямоугольник еще раз:

Нижняя горизонталь: 6 клеток. Левая вертикаль: 6 клеток. Треугольник вписан в квадрат 6x6. Площадь квадрата = 36.

Вырежем 3 треугольника:

Левый нижний: катеты 2 и 5. Площадь = 5.
Левый верхний: катеты 1 и 6. Площадь = 3.
Правый нижний: катеты 1 и 1. Площадь = 0.5.

Сумма площадей вырезанных = \( 5 + 3 + 0.5 = 8.5 \).

Площадь треугольника = \( 36 - 8.5 = 27.5 \). Это снова другой результат.

Анализ рисунка:

Вершины треугольника расположены на узлах сетки.

Левая нижняя вершина: на 2 клетки от левого края и на 1 клетку от нижнего края.
Верхняя вершина: на 3 клетки от левого края и на 6 клеток от нижнего края.
Правая нижняя вершина: на 8 клеток от левого края и на 1 клетку от нижнего края.

Используем формулу площади по координатам, определив начальную точку сетки как (0,0):

Вершина 1: (2,1)

Вершина 2: (3,6)

Вершина 3: (8,1)

\( S = \frac{1}{2} |(2(6-1) + 3(1-1) + 8(1-6))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(2(5) + 3(0) + 8(-5))| \)

\( S = \frac{1}{2} |(10 + 0 - 40)| \)

\( S = \frac{1}{2} |-30| = 15 \).

Этот результат совпадает с площадью прямоугольного треугольника с катетами 6 и 5, что косвенно указывает на возможное прямоугольное положение вершин, но визуально это не очевидно.

Давайте вернемся к подсчету клеток, это самый наглядный метод.

Полных клеток: 5.
Частичных клеток (условно по 1/2): 8.
Площадь = \( 5 + \frac{8}{2} = 9 \).

Похоже, что подсчет клеток — самый надежный метод для такого рисунка.

Ответ: 9

Поделись с друзьями