Дано:

Окружность с центром O.
Диаметры AD и BC.
Угол OAB = 70°.

Найти: Угол OCD.

Решение:

Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB - радиусы окружности, поэтому треугольник OAB - равнобедренный.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: угол OBA = угол OAB = 70°.
Угол AOC - развернутый (180°), так как AD - диаметр.
Угол BOC = 180° - (угол OAB + угол OBA) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
Рассмотрим треугольник OCD. OC и OD - радиусы окружности, поэтому треугольник OCD - равнобедренный.
Угол ODC = угол OCD.
Угол BOC и угол OAD - вертикальные углы, поэтому угол OAD = угол BOC = 40°.
Угол OAD = угол OAB = 70°. Этот вывод противоречит условию, что угол OAB = 70°. Пересмотрим решение.
Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол AOB = 180° - (угол OAB + угол OBA) = 180° - (70° + 70°) = 40°.
Дуга AB = 40°.
Угол BOC = 180°.
Угол AOC = 180° - 40° = 140°.
Угол OAD = 70°.
Угол CAD = Угол OAD - Угол OAC.
Рассмотрим треугольник OAC. OA = OC (радиусы), значит треугольник OAC - равнобедренный.
Угол OCA = Угол OAC = 70°.
Угол OCD = Угол OCA = 70°.
Проверим: Угол AOD - развернутый (180°). Угол AOC = 180° - 70° = 110°.
В равнобедренном треугольнике OAC, угол OAC = угол OCA = (180° - 110°)/2 = 70°/2 = 35°.
Снова противоречие. Вернемся к началу.
Угол OAB = 70°. OA = OB (радиусы), значит треугольник OAB равнобедренный. Угол OBA = Угол OAB = 70°.
Угол AOB = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
BC - диаметр. Угол BOC = 180°.
Угол AOC = 180° - Угол AOB = 180° - 40° = 140°.
Рассмотрим треугольник OCD. OC = OD (радиусы), значит треугольник OCD равнобедренный.
Угол OCD = Угол ODC.
Угол COD = Угол AOB (вертикальные углы). Угол COD = 40°.
В равнобедренном треугольнике OCD: Угол OCD = Угол ODC = (180° - Угол COD) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: 70

Поделись с друзьями