Задание 24. Биссектрисы в параллелограмме

Дано: Параллелограмм ABCD.

Проведены биссектрисы противоположных углов.

Доказать: Отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Доказательство:

Пусть проведены биссектрисы углов A и C. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, а биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке F. Нужно доказать, что AE = CF.

1. Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллельны: AB || DC, AD || BC.
Противоположные углы равны: \( ∠ A = ∠ C \), \( ∠ B = ∠ D \).
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: \( ∠ A + ∠ B = 180° \).

2. Рассмотрение биссектрисы угла A (AE):

AE — биссектриса \( ∠ A \), значит \( ∠ BAE = ∠ DAE = \frac{1}{2}∠ A \).
Так как AD || BC, то AB || EC.
Углы \( ∠ DAE \) и \( ∠ AEB \) являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AE.
Следовательно, \( ∠ AEB = ∠ DAE \).
Из этого следует, что \( ∠ BAE = ∠ AEB \).
Треугольник \( ∆ ABE \) является равнобедренным с основанием AB.
Значит, \( AB = BE \).

3. Рассмотрение биссектрисы угла C (CF):

CF — биссектриса \( ∠ C \), значит \( ∠ BCF = ∠ DCF = \frac{1}{2}∠ C \).
Так как AB || DC, то AD || BC.
Углы \( ∠ DCF \) и \( ∠ AFC \) являются накрест лежащими при параллельных прямых DC и AB и секущей CF.
Следовательно, \( ∠ AFC = ∠ DCF \).
Так как \( ∠ A = ∠ C \), то \( \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}∠ C \).
Следовательно, \( ∠ BCF = ∠ AFC \).
Треугольник \( ∆ BCF \) является равнобедренным с основанием BC.
Значит, \( BC = BF \).

4. Заключение:

Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = DC и AD = BC.
Мы доказали, что BE = AB и BF = BC.
Следовательно, BE = DC и BF = AD.
Если проведены биссектрисы противоположных углов (например, A и C), то точки пересечения с противоположными сторонами будут находиться на одинаковом расстоянии от вершин.
Пусть биссектриса угла A пересекает DC в точке G, а биссектриса угла C пересекает AB в точке H.
Аналогично, \( ∠ DAG = ∠ A/2 \) и \( ∠ DCG = ∠ C/2 \). Так как \( ∠ A = ∠ C \), то \( ∠ DAG = ∠ DCG \).
Также, \( ∠ DAG \) и \( ∠ AGC \) — накрест лежащие при AD || BC и секущей AG. Значит \( ∠ AGC = ∠ DAG \).
Следовательно, \( ∠ AGC = ∠ DCG \). Треугольник \( ∆ DGC \) равнобедренный, \( DC = DG \).
Аналогично, \( ∠ CBH = ∠ A/2 \) (так как \( ∠ A = ∠ C \) и \( ∠ CBH = ∠ BCH \) как накрест лежащие при AD || BC и секущей CH). Треугольник \( ∆ CBH \) равнобедренный, \( BC = BH \).
Таким образом, отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны сторонам параллелограмма, на которые они опираются.
Если рассматриваются биссектрисы противоположных углов, то их отрезки внутри параллелограмма будут равны. Например, если проведены биссектрисы углов A и C, то точка пересечения биссектрисы A с DC и точка пересечения биссектрисы C с AB будут находиться на одинаковом расстоянии от противоположных вершин, и соответствующие отрезки биссектрис будут равны.

Вывод: Отрезки биссектрис противоположных углов параллелограмма, заключенные внутри него, равны.

Поделись с друзьями