Обозначим \(AB=u\), \(AD=v\). Поскольку \(BC\parallel AD\), из условия, что \(AK\) — биссектриса угла \(A\), следует \(BK=AB=u\): в треугольнике \(ABK\) углы при \(A\) и \(K\) равны, поэтому противоположные им стороны равны.

Так как \(BC=AD=v\), получаем \(CK=v-u\). Биссектриса угла \(D\), пересекая \(BC\) в точке \(K\), даёт \(CK=CD=AB=u\): в треугольнике \(DCK\) равны углы при \(D\) и \(K\), поскольку \(DK\) делит угол \(D\) пополам и \(CK\parallel AD\). Следовательно, \(v-u=u\), то есть \(v=2u\).

Пусть \(\theta=\angle DAB\). Тогда, поскольку \(BK=u\) и \(AD=2u\), векторы от \(A\) к \(K\) и от \(D\) к \(K\) имеют вид \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+ frac12\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AB}- frac12\overrightarrow{AD}\).

Сложив квадраты длин, получаем \(AK^2+DK^2=2u^2+ frac12(2u)^2=4u^2\). Поэтому \(8^2+6^2=4u^2\), откуда \(u=5\) см и \(v=10\) см.

Вычитая квадраты длин, получаем \(AK^2-DK^2=2\overrightarrow{AB}\cdot frac12\overrightarrow{AD}=2uv\cos\theta\). Значит, \(64-36=2uv\cos\theta\), откуда \(uv\cos\theta=14\).

Площадь параллелограмма равна \(uv\sin\theta\). Поэтому

\(S^2=(uv)^2-(uv\cos\theta)^2=(5\cdot10)^2-14^2=2304\),

откуда \(S=48\text{ см}^2\).

Ответ: 48 см².

Поделись с друзьями