а) Предположим, что \(\sqrt{5}\) рационально. Тогда его квадрат тоже рационален, но \((\sqrt{5})^2=5\); это само по себе не даёт противоречия, поэтому используем несократимость дроби: если \(\sqrt5=m/n\), где целые взаимно простые \(m,n\), то \(m^2=5n^2\). Значит, 5 делит \(m\), а после подстановки следует, что 5 делит и \(n\), противоречие. Следовательно, \(\sqrt5\) иррационально.

б) Аналогично, если \(\sqrt3=m/n\) в несократимом виде, то \(m^2=3n^2\). Отсюда 3 делит и \(m\), и \(n\), что противоречит их взаимной простоте. Значит, \(\sqrt3\) иррационально.

в) Если бы \(\sqrt3-1\) было рациональным, то прибавление 1 показало бы, что \(\sqrt3\) рационально. Это противоречит пункту б). Следовательно, \(\sqrt3-1\) иррационально.

г) Если бы \(\sqrt5+1\) было рациональным, то вычитание 1 показало бы, что \(\sqrt5\) рационально. Это противоречит пункту а). Следовательно, \(\sqrt5+1\) иррационально.

Поделись с друзьями