Задание 7

Дано: Окружность с центром в точке О, AD и BC — диаметры, \( ∠OAB = 70^\circ \).

Найти: \( ∠OCD \).

Решение:

1. Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности. Следовательно, \( ∠OAB = ∠OBA = 70^\circ \).

2. Угол BOC является смежным с углом AOB. Сумма смежных углов равна 180°. Поэтому \( ∠BOC = 180^\circ - ∠AOB \). Найдем \( ∠AOB \) из треугольника AOB: \( ∠AOB = 180^\circ - (∠OAB + ∠OBA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).

3. Теперь найдем \( ∠BOC \): \( ∠BOC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).

4. Треугольник COD является равнобедренным, так как OC и OD — радиусы окружности. Следовательно, \( ∠OCD = ∠ODC \).

5. Угол COD равен углу AOB как вертикальные углы. Значит, \( ∠COD = ∠AOB = 40^\circ \).

6. В равнобедренном треугольнике COD, сумма углов равна 180°. Следовательно, \( ∠OCD = ∠ODC = \frac{180^\circ - ∠COD}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \).

Альтернативный путь:

1. Угол OAC равен 70°. Треугольник OAC является равнобедренным (OA=OC - радиусы), значит \( ∠OCA = ∠OAC = 70^\circ \). Это неверно, так как AC не является диаметром.

1. Угол OAB = 70°. OA = OB (радиусы), значит \( ∠OBA = 70^\circ \). \( ∠AOB = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ \).

2. Угол AOC смежный с углом BOC. Угол BOC = 180 - 40 = 140. Угол AOD = 180. Угол COD = 180 - 140 = 40. Это неверно.

3. AD и BC - диаметры. Значит, \( ∠AOC \) и \( ∠BOD \) — вертикальные углы, а \( ∠AOB \) и \( ∠COD \) — вертикальные углы. Также \( ∠AOB + ∠BOC = 180^\circ \).

4. \( ∠OAB = 70^\circ \). OA = OB (радиусы), значит \( ∠OBA = 70^\circ \). \( ∠AOB = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ \).

5. \( ∠COD \) — вертикальный к \( ∠AOB \), значит \( ∠COD = 40^\circ \).

6. Треугольник COD — равнобедренный, так как OC = OD (радиусы). Сумма углов в треугольнике 180°. \( ∠OCD = ∠ODC = \frac{180^\circ - ∠COD}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \).

Ответ: 70.

Поделись с друзьями