Как решать систему уравнений разными методами

С помощью уравнений можно описать большинство процессов, как чисто математических, так и общих практических. Старт изучения уравнений начинается еще в начальной школе. А уже при изучении основ алгебры, которые приходятся на 7 класс, в математический словарь школьника входит понятие системы уравнений. Под системой уравнений принято понимать несколько уравнений-математических равенств, в которых следует найти одну или сразу несколько величин, остающихся неизвестными. После нахождения их значений при подстановке результатов должны получиться несколько верных равенств.

К основным понятиям системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) относится, собственно, сам термин такой системы. Это объединение нескольких линейных уравнений, каждое из которых включает определенные переменные. Если число уравнений и переменных совпадает, то такие СЛАУ рассматриваются уже семиклассниками. Изучение более сложных, где количество уравнений не равно числу переменных, начинается в программе математики за 9 класс и в старшей школе. Существует несколько методик, позволяющих успешно решать СЛАУ. Среди наиболее известных и распространенных:

решение способом постановки, одно из самых простых и понятных, с него и начинается объяснение материала о СЛАУ;
нахождение неизвестных переменных способом сложения, более сложный алгоритм, но удобный для большинства систем;
графический, который подходит, если допустимо получение приблизительных значений;
методом Крамера можно решить тройную систему, то есть, СЛАУ с 3-мя неизвестными переменными;
в старшей школе и на следующей ступени образования СЛАУ решают в том числе, методом Гаусса, через преобразования ее в ступенчатую матрицу.

Каждая из технологий удобна в определенном конкретном случае и будет избрана, исходя из условия и особенностей задачи.

Как решать систему уравнений методом подстановки – от простого к сложному

Вначале надо разобраться с вопросом, как решать систему уравнений с двумя неизвестными, это первое, что рассматривается при изучении данного метода. Метод подставки предполагает следование такому алгоритму:

Одну переменную, которая находится в первом линейном уравнении, надо выразить через другую.
Во второе уравнение вместо этой переменной надо подставить полученное в шаге 1 выражение.
В итоге получаем уравнение, которое содержит только одну переменную.
Его надо решить, как обычное линейное уравнение.
Полученное в шаге 4 значение переменной надо подставить в выражение, которое образовалось в шаге 1.
Результат – найдены обе переменные, их надо подставить в одно и в другое уравнение системы, чтобы проверить правильность нахождения значений неизвестных переменных.

После того, как с помощью выполнения примеров, закрепления на практике задачи, как решать систему уравнений с двумя переменными, можно переходит к более сложным случаям. Здесь тоже подойдет описанный выше метод подстановки. С его помощью можно рассмотреть, например, как решать систему уравнений с тремя неизвестными, следуя примерно тому же алгоритму, который подходит для СЛАУ с 2-мя переменными. К значимым отличиям здесь можно отнести то, что полученное в первом шаге выражение надо в дальнейшем подставлять сразу в оба других уравнения. Затем из них составляется система, в которую входят уже два уравнения с двумя переменными, и после методика становится полностью аналогичной той, что применяется в классическом алгоритме для двух переменных. При проверке, соответственно, нужно будет подставлять все три найденные значения в каждое из исходных уравнений системы. И оценивать соблюдение всех равенств СЛАУ.

Помимо подстановок, такие системы удобно решать и другим довольно распространенным способом. Чтобы понять, как решать систему уравнений методом сложения, надо выполнить ряд последовательных действий. Во-первых, умножить каждое из уравнений СЛАУ на некое число таким образом, чтобы при одной неизвестной оказались числовые коэффициенты, по модулю равные, но по знаку противоположные. После полученные уравнения надо сложить. Очевидно, что неизвестные переменные с одним значением, но разными знаками, ликвидируются (второе название метода – метод исключения), и в итоге получится одно уравнение с одной переменной. Решив его удобным способом и найдя значение одной переменной, ее подставляют в другое уравнение и находят вторую. Также не надо забывать об обязательном этапе проверки, подставляя найденные значения в оба уравнения. Для системы с 3-мя переменными такая методика имеет свою разновидность, она называется методом почтённого сложения. Суть ее не меняется, только добавляются дополнительные шаги по избавлению в ходе решения не от одной, а от двух переменных посредством домножения обеих частей уравнений на нужное число.

Как решать систему уравнений графическим способом – через систему координат

Им можно пользоваться, начиная с 7-го класса, вначале для нахождения решения системы линейных уравнений, затем, в старшей школе, и более сложных. Подходит для любых выражений, для которых можно построить системный график. Для решения надо построить в декартовой системе координат график первого уравнения, взяв несколько точек для его построения (в случае линейного уравнения графиком будет прямая, достаточно 2-х точек). Аналогично выполнить построение графика второго уравнения. Определить точки пересечения этих графиков – координаты этих точек будут корнями системы уравнений. Важно помнить, что графический метод позволяет находить только приблизительные значения неизвестных переменных. Поэтому и в этом случае системе необходима проверка корней после их нахождения. Если же по ее итогам окажется, что полученные числа не могут быть решением системы, то нужно воспользоваться другими способами, например, описанными выше подстановки, алгебраического исключения (сложения) или иными подходящими.