Как найти стороны треугольника и его площадь по сторонам

Освоение геометрического материала, особенно в средней и старшей школе, начинается с построения и расчета треугольников. Если формулы и правила для равностороннего и равнобедренного достаточно просты и понятны, то чтобы разобраться, как найти углы и стороны фигуры с неравными элементами, надо применить более сложные алгоритмы. Иногда исходных данных минимум, и поэтому важно понять, как искать расчетные параметры треугольников, зная одну сторону или зная две стороны, какие математические, алгебраические, геометрические и тригонометрические формулы можно применить, чтобы ответить на этот вопрос. Самым простым и удобным типом треугольника с точки зрения таких расчетов является равносторонний, то есть такой, все стороны которого имеют одинаковую длину. Таким образом, здесь сразу же можно понять, как найти стороны треугольника зная одну сторону, поскольку они все одинаковые. В этом случае можно будет применить такие правила:

• через периметр. Поскольку длины равны, то одна сторона будет равна периметру, деленному на три;
• из формулы площади в этом частном случае сторону фигуры можно найти таким образом: a = √(4 × S / √3);
• также можно выразить сторону через высоту: a = 2 × h / √3.

Поняв и освоив самый простой случай, можно переходить к другим, как частным, так и общим. Чтобы получить максимально глубокие и полные знания, нужно не просто усвоить теоретический материал, но и проработать его, выполняя практические задания. Обширный банк таких с подробным решением и алгоритмом его нахождения можно посмотреть на ответы по фото гдз, что позволит в своем темпе, внимательно и вдумчиво проработать каждую методику, сравнить со своими ответами, запомнить порядок решения и записи результата. Это позволит повысить оценки и укрепить математические знания.

 Как найти сторону треугольника зная две стороны или одну из сторон

Разобравшись с частным случаем равностороннего треугольника, стоит изучить материал на равнобедренном варианте, а затем понять, как найти стороны прямоугольного треугольника, в котором один из углов равен 90 градусов. Здесь оптимальным выбором будет использование теоремы Пифагора: c² = a² + b².

Когда все простые ситуации будут проработаны, можно двигаться дальше и искать решение, как найти 3 сторону треугольника зная 2 стороны, где можно действовать таким образом:

1. Проверить, нет ли угла в 90 градусов в рассматриваемой фигуре. Если он имеется, то надо переходить к предыдущему пункту и использовать теорему Пифагора.
2. Если такого угла в фигуре нет, то попробовать применить теорему косинусов. Она подходит для всех без исключения произвольных треугольников. Формульное равенство выглядит таким образом: c² = a² + b² — 2ab × cos(γ), в котором a и b — длины двух сторон треугольника, прилежащих к углу γ, с – та сторона, которая противолежит ему, γ, соответственно, градусная мера угла, образованного сторонами a и b рассматриваемой в примере фигуры.

При применении теоремы косинусов важно понимать, что для тупых углов, градусная мера которых превышает 90°, косинус будет иметь отрицательное значение.

Разобравшись с описанным выше случаем, можно переходит ответу на вопрос, как найти стороны треугольника зная одну сторону, как для прямоугольных, так и для произвольных фигур. Здесь, помимо уже известных из примеров выше теорем Пифагора и косинусов, можно руководствоваться правилом теоремы синусов. Согласно ему, соотношение длины стороны к синусу противоположного угла будет равным соотношению другой стороны и синусу противолежащего этой стороны угла. Формулой данное выражение записывается таким образом: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Таким образом, для вычисления искомой стороны соответствующие значения надо подставить в формулу и найти неизвестную сторону.

 Как найти площадь треугольника зная все стороны по формуле Герона

Общий формульный вид выражения для нахождения искомого параметра выглядит следующим образом: S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c)), в котором a, b, c – это длины сторон исследуемой фигуры, S и р, соответственно, это величина его площади и полупериметр.

Для того, чтобы применить эту формулу, нужно воспользоваться алгоритмом. Вначале измерить и записать длины всех трех сторон рассчитываемой фигуры. Затем, используя знание формулы периметра как суммы длин сторон, найти этот параметр и его половину, так называемый полупериметр. Рассчитав его, нужно подставить все полученные значения в формулу Герона и произвести необходимые расчеты. Перед тем, как проводить приведенные выше расчеты следует убедиться, что указанные длины могут в принципе образовать треугольник и соответствуют принципу его неравенства: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны возможного к исследованию треугольника.