Заполните пустые ячейки в таблице, используя знания геометрии.

Решение для первой строки:

1. Найдём сторону a по теореме косинусов: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cosB$$ => $$a = \sqrt{b^2+c^2-2bc \cdot cosB} = \sqrt{4^2+6^2-2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos40°} = \sqrt{16 + 36 - 48 \cdot 0,766} = \sqrt{52-36,768} = \sqrt{15,232} = 2\sqrt{13}$$.
2. Найдём угол A по теореме синусов: $$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$ => $$sinA = \frac{a \cdot sinB}{b} = \frac{2\sqrt{13} \cdot sin40°}{4} = \frac{2\sqrt{13} \cdot 0,643}{4} = \frac{4,62}{4} = 1,155$$. Значит, $$\angle A = arcsin(1,155) = 24,62°$$.
3. Найдём угол C: $$\angle C = 180 - \angle A - \angle B = 180-24,62-40 = 115,38°$$.
4. Найдём площадь треугольника: $$S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sinA = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot sin24,62 = 12 \cdot 0,612 = 7,35$$

Решение для второй строки:

1. Найдём угол C: $$\angle C = 180 - \angle A - \angle B = 180-20-50 = 110°$$.
2. Найдём сторону b по теореме синусов: $$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$$ => $$b = \frac{a \cdot sinB}{sinA} = \frac{8 \cdot sin50°}{sin20°} = \frac{8 \cdot 0,766}{0,342} = \frac{6,128}{0,342} = 17,92$$. Таким образом, $$b = 4\sqrt{3}$$.
3. Найдём сторону c по теореме синусов: $$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$$ => $$c = \frac{a \cdot sinC}{sinA} = \frac{8 \cdot sin110°}{sin20°} = \frac{8 \cdot 0,94}{0,342} = \frac{7,52}{0,342} = 21,99$$. Таким образом, $$c = 4\sqrt{7}$$.
4. Найдём площадь треугольника: $$S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sinC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 17,92 \cdot sin110° = 4 \cdot 17,92 \cdot 0,94 = 68,1 \cdot 0,94 = 15,9$$.

Решение для третьей строки:

1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ => $$6^2 + 8^2 = 10^2$$ => $$36 + 64 = 100$$ => $$100 = 100$$. Значит, треугольник прямоугольный и $$\angle C = 90°$$.
2. Найдём угол A: $$sinA = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = 0,6$$. Значит, $$\angle A = arcsin(0,6) = 36,87°$$.
3. Найдём угол B: $$\angle B = 180 - \angle A - \angle C = 180-36,87-90 = 53,13°$$.
4. Найдём площадь треугольника: $$S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24$$.