ЗАДАНИЕ 1 Заполните пропуски подходящими по смыслу элементами Дан отрезок AD. В одной полуплоскости относительно прямой AD лежат точки В и С такие, что ∠ BAD = ∠ CDA, ∠ BAC = ∠ CDB. Найдите длины отрезков АС и CD, если АВ = 5 см, BD = 6 см. Ответ: АС = не выбрано CM; CD = не выбрано см.

Обозначим ∠BAD = ∠CDA = α и ∠BAC = ∠CDB = β.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов четырехугольника равна 360°.

Значит, ∠ABC + ∠ADC = 360° - (∠BAD + ∠CDA) - (∠BAC + ∠CDB) = 360° - 2α - 2β.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC и ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.

Так как ∠BAD = ∠CDA и ∠BAC = ∠CDB, то треугольники ABC и BCD подобны по двум углам.

Из подобия следует, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{CD} = \frac{BC}{BD}\).

Из условия AB = 5 см и BD = 6 см. Следовательно, \(\frac{5}{BC} = \frac{BC}{6}\).

Тогда \(BC^2 = 30\), и \(BC = \sqrt{30}\) см.

Теперь рассмотрим \(\frac{AB}{BC} = \frac{AC}{CD}\), то есть \(\frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{AC}{CD}\).

Также рассмотрим \(\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{BD}\), то есть \(\frac{AC}{CD} = \frac{\sqrt{30}}{6}\).

Из условия ∠BAC = ∠CDB следует, что треугольник ABC подобен треугольнику BCD.

Пусть AC = x, CD = y.

Тогда \(\frac{5}{\sqrt{30}} = \frac{x}{y}\) и \(\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{30}}{6}\).

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{30}}{6} \\ 5y = x\sqrt{30} \end{cases} $$

Из первого уравнения: \(x = \frac{\sqrt{30}}{6} y\).

Подставим во второе уравнение: \(5y = \frac{\sqrt{30}}{6} y \cdot \sqrt{30}\).

Тогда \(5y = \frac{30}{6} y\), или \(5y = 5y\). Это означает, что решение неоднозначно.

Поскольку треугольники ABC и BCD подобны, а углы ∠BAC = ∠CDB, ∠BAD = ∠CDA, то четырехугольник ABCD - равнобедренная трапеция (или прямоугольник).

Тогда AC = BD = 6 см и CD = AB = 5 см, т.е. четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: AC = 6 см; CD = 5 см.