ЗАДАНИЕ №4 Решите задачу на готовом чертеже: Треугольники АВС и А1В1С1 подобны: ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1. По данному рисунку найдите значения x, y, z, если известно, что $$P_{\triangle A_1B_1C_1} = 54$$.

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, следовательно, их стороны пропорциональны. Составим пропорцию, используя известные стороны:

$$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} $$

Используя известные значения сторон, получим:

$$ \frac{x}{10} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8} $$

Периметр треугольника A₁B₁C₁ равен 54, то есть:

$$ x + y + z = 54 $$

Выразим x и y через z:

$$ x = \frac{10}{8}z = \frac{5}{4}z $$ $$ y = \frac{9}{8}z $$

Подставим x и y в уравнение периметра:

$$ \frac{5}{4}z + \frac{9}{8}z + z = 54 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{10}{8}z + \frac{9}{8}z + \frac{8}{8}z = 54 $$ $$ \frac{27}{8}z = 54 $$ $$ z = \frac{54 \cdot 8}{27} = 2 \cdot 8 = 16 $$

Теперь найдем x и y:

$$ x = \frac{5}{4} \cdot 16 = 5 \cdot 4 = 20 $$ $$ y = \frac{9}{8} \cdot 16 = 9 \cdot 2 = 18 $$

Ответ:

$$x = 20$$ $$y = 18$$ $$z = 16$$