Задание 2: Найдите производные функций: a) y = x sin x; б) у = ctgx x в) у = (2x - 3)5. Задание 3: Вычислите f'(π/6), если f(x) = 1,5x² - (πx/2) + 5 - 4 cos x. Задание 4: Прямолинейное движение точки описывается законом s = t⁴ - 2t² (м). Найдите ее скорость в момент времени t = 3c. Задание 5: Дана функция у = 0,5х⁴ - 4x². Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Задание 2

a) Найдём производную функции $$y = x \cdot sin(x)$$. Используем правило производной произведения: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$. В нашем случае $$u = x$$, $$v = sin(x)$$. Следовательно, $$u' = 1$$, $$v' = cos(x)$$. Тогда $$y' = 1 \cdot sin(x) + x \cdot cos(x) = sin(x) + x \cdot cos(x)$$.

Ответ: $$y' = sin(x) + x \cdot cos(x)$$

б) Найдём производную функции $$y = \frac{ctg(x)}{x}$$. Используем правило производной частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$. В нашем случае $$u = ctg(x)$$, $$v = x$$. Следовательно, $$u' = -\frac{1}{sin^2(x)}$$, $$v' = 1$$. Тогда $$y' = \frac{-\frac{1}{sin^2(x)} \cdot x - ctg(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-\frac{x}{sin^2(x)} - ctg(x)}{x^2} = -\frac{x + ctg(x) \cdot sin^2(x)}{x^2 sin^2(x)}$$.

Ответ: $$y' = -\frac{x + ctg(x) \cdot sin^2(x)}{x^2 sin^2(x)}$$

в) Найдём производную функции $$y = (2x - 3)^5$$. Используем правило производной сложной функции: $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$. В нашем случае $$f(u) = u^5$$, $$g(x) = 2x - 3$$. Следовательно, $$f'(u) = 5u^4$$, $$g'(x) = 2$$. Тогда $$y' = 5(2x - 3)^4 \cdot 2 = 10(2x - 3)^4$$.

Ответ: $$y' = 10(2x - 3)^4$$

Задание 3

Найдём производную функции $$f(x) = 1.5x^2 - \frac{\pi x}{2} + 5 - 4cos(x)$$. $$f'(x) = 1.5 \cdot 2x - \frac{\pi}{2} + 0 - 4 \cdot (-sin(x)) = 3x - \frac{\pi}{2} + 4sin(x)$$. Теперь вычислим $$f'(\frac{\pi}{6})$$: $$f'(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 4sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 0 + 2 = 2$$.

Ответ: $$f'(\frac{\pi}{6}) = 2$$

Задание 4

Дано $$s(t) = t^4 - 2t^2$$. Скорость есть производная от пути по времени, то есть $$v(t) = s'(t)$$. $$v(t) = (t^4 - 2t^2)' = 4t^3 - 4t$$. Вычислим скорость в момент времени $$t = 3c$$: $$v(3) = 4 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3 = 4 \cdot 27 - 12 = 108 - 12 = 96$$ м/с.

Ответ: Скорость точки в момент времени t = 3c равна 96 м/с.

Задание 5

Дана функция $$y = 0.5x^4 - 4x^2$$. a) Найдём промежутки возрастания и убывания функции. Для этого найдём производную функции и определим, где она больше или меньше нуля. $$y' = 0.5 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)$$. Приравняем производную к нулю: $$2x(x - 2)(x + 2) = 0$$. Корни: $$x = -2, 0, 2$$. Определим знаки производной на промежутках: * $$(-\infty; -2)$$: y' < 0 (функция убывает) * $$(-2; 0)$$: y' > 0 (функция возрастает) * $$(0; 2)$$: y' < 0 (функция убывает) * $$(2; +\infty)$$: y' > 0 (функция возрастает)

Ответ: Функция убывает на промежутках $$(-\infty; -2)$$ и $$(0; 2)$$, функция возрастает на промежутках $$(-2; 0)$$ и $$(2; +\infty)$$.

б) Найдём точки экстремума. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует везде, и мы уже нашли корни производной: $$x = -2, 0, 2$$. Это точки экстремума.

Ответ: Точки экстремума: $$x = -2, 0, 2$$.

в) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-1; 3]$$. Для этого вычислим значения функции в точках экстремума и на концах отрезка. $$y(-1) = 0.5 \cdot (-1)^4 - 4 \cdot (-1)^2 = 0.5 - 4 = -3.5$$. $$y(0) = 0.5 \cdot 0^4 - 4 \cdot 0^2 = 0$$. $$y(2) = 0.5 \cdot 2^4 - 4 \cdot 2^2 = 0.5 \cdot 16 - 4 \cdot 4 = 8 - 16 = -8$$. $$y(3) = 0.5 \cdot 3^4 - 4 \cdot 3^2 = 0.5 \cdot 81 - 4 \cdot 9 = 40.5 - 36 = 4.5$$. Наибольшее значение: 4.5, наименьшее значение: -8.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $$[-1; 3]$$ равно 4.5, наименьшее значение равно -8.