Задание 2: Вынесите множитель из-под знака корня

1. $$\sqrt{12}$$

Разложим число 12 на простые множители: $$12 = 2^2 \cdot 3$$. Тогда: $$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

Ответ: $$2\sqrt{3}$$

2. $$\sqrt{45}$$

Разложим число 45 на простые множители: $$45 = 3^2 \cdot 5$$. Тогда: $$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$$

Ответ: $$3\sqrt{5}$$

3. $$\sqrt{98}$$

Разложим число 98 на простые множители: $$98 = 2 \cdot 7^2$$. Тогда: $$\sqrt{98} = \sqrt{2 \cdot 7^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7^2} = 7\sqrt{2}$$

Ответ: $$7\sqrt{2}$$

4. $$\sqrt{200}$$

Разложим число 200 на простые множители: $$200 = 2^3 \cdot 5^2 = 2 \cdot (2^2 \cdot 5^2)$$. Тогда: $$\sqrt{200} = \sqrt{2 \cdot 2^2 \cdot 5^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5^2} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot 5 = 10\sqrt{2}$$

Ответ: $$10\sqrt{2}$$

5. $$\sqrt{32a^2}$$, где $$a \ge 0$$

Разложим число 32 на простые множители: $$32 = 2^5 = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot (2^2)^2$$. Тогда: $$\sqrt{32a^2} = \sqrt{2 \cdot (2^2)^2 \cdot a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{(2^2)^2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot 2^2 \cdot a = 4a\sqrt{2}$$

Ответ: $$4a\sqrt{2}$$

6. $$\sqrt{75y^6}$$, где $$y \ge 0$$

Разложим число 75 на простые множители: $$75 = 3 \cdot 5^2$$. Тогда: $$\sqrt{75y^6} = \sqrt{3 \cdot 5^2 \cdot y^6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{(y^3)^2} = \sqrt{3} \cdot 5 \cdot y^3 = 5y^3\sqrt{3}$$

Ответ: $$5y^3\sqrt{3}$$

7. $$\sqrt{18b^5}$$, где $$b \ge 0$$

Разложим число 18 на простые множители: $$18 = 2 \cdot 3^2$$. Тогда: $$\sqrt{18b^5} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(b^2)^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{2} \cdot 3 \cdot b^2 \cdot \sqrt{b} = 3b^2\sqrt{2b}$$

Ответ: $$3b^2\sqrt{2b}$$

8. $$\sqrt{128x^7y^3}$$, где $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$

Разложим число 128 на простые множители: $$128 = 2^7 = 2^6 \cdot 2 = (2^3)^2 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2$$. Тогда: $$\sqrt{128x^7y^3} = \sqrt{2^7x^7y^3} = \sqrt{2^6 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot x \cdot y^2 \cdot y} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot x^6 \cdot y^2 \cdot 2xy} = \sqrt{(2^3)^2} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{2xy} = 2^3 \cdot x^3 \cdot y \cdot \sqrt{2xy} = 8x^3y\sqrt{2xy}$$

Ответ: $$8x^3y\sqrt{2xy}$$