7.2.15 Задачи на движение и производительность Углублённый уровень. Домашняя работа Задача 1. Коля, Саша и Стёпа бежали стометровку. Коля пробежал её за 21 секунду, Саша за 22, а Стёпа - за 23. У кого из мальчиков была наибольшая средняя скорость? Задача 2. Таракан и муравей бегут навстречу друг другу. Скорость таракана на 16 см/с больше скорости муравья. Расстояние между ними было равно 350 см. Найдите их скорости, если они встретились через 7 секунд. Задача 3. Маша и медведь договорились пойти в поход в 7 часов утра. Когда медведь проснулся, он обнаружил, что сильно проспал. Он быстро собрался и побежал догонять Машу. Маша шла не торопясь и напевала песни. Медведь бежал в 6 раз быстрее Маши. Он догнал её через полчаса. С какой скоростью бежал медведь, если, когда он выбежал из дома, расстояние от него до Маши равнялось 5 км? Задача 4. Гриша дал слово ежедневно делать одинаковое количество подтягиваний. Однако из- за лени он каждый день делал на 3 подтягивания меньше, чем планировал. За сентябрь он сделал столько подтягиваний, сколько хотел сделать за первые три недели. Сколько подтягиваний в день планировал делать Гриша? Задача 5. Два трактора могут вспахать поле за 9 часов. Первый трактор, если бы он работал один, вспахал бы это поле за 12 часов. За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор?

Чтобы определить, у кого из мальчиков наибольшая средняя скорость, нужно сравнить их скорости. Скорость равна отношению расстояния ко времени. Так как все они бежали одинаковое расстояние (100 метров), то у того, кто пробежал быстрее, скорость будет больше.

Коля пробежал за 21 секунду, Саша - за 22 секунды, Стёпа - за 23 секунды. Следовательно, наименьшее время показал Коля, значит, у него самая большая средняя скорость.

Ответ: У Коли была наибольшая средняя скорость.

Пусть скорость муравья равна $$x$$ см/с, тогда скорость таракана равна $$(x + 16)$$ см/с. Поскольку они бегут навстречу друг другу, то их скорости складываются. Общая скорость равна $$(x + x + 16) = (2x + 16)$$ см/с.

Расстояние между ними 350 см, а встретились они через 7 секунд. Используем формулу: расстояние = скорость × время.

$$350 = (2x + 16) cdot 7$$

$$350 = 14x + 112$$

$$14x = 350 - 112$$

$$14x = 238$$

$$x = \frac{238}{14}$$

$$x = 17$$

Скорость муравья равна 17 см/с, скорость таракана равна $$17 + 16 = 33$$ см/с.

Ответ: Скорость муравья – 17 см/с, скорость таракана – 33 см/с.

Пусть $$v_м$$ – скорость Маши, тогда скорость медведя – $$6v_м$$. Время, которое медведь бежал до встречи с Машей – 0,5 часа. За это время Маша прошла расстояние $$s_M = v_м \cdot 0.5$$. Медведь пробежал расстояние $$s_{мед} = 6v_м \cdot 0.5 = 3v_м$$.

По условию, когда медведь выбежал из дома, расстояние до Маши было 5 км, то есть 5000 метров. За полчаса медведь сократил это расстояние, следовательно, разница между расстояниями, которые они пробежали, равна 5000 метрам:

$$3v_м \cdot 0.5 - v_м \cdot 0.5 = 5000$$

$$1.5v_м - 0.5v_м = 5000$$

$$v_м = 5000$$ м/ч.

Скорость медведя равна $$6v_м = 6 \cdot 5000 = 30000$$ м/ч, или 30 км/ч.

Ответ: Медведь бежал со скоростью 30 км/ч.

В сентябре 30 дней. Три недели – это 21 день. Пусть Гриша планировал делать $$x$$ подтягиваний в день. Тогда за сентябрь он сделал $$(x - 3) \cdot 30$$ подтягиваний. По условию, это равно количеству подтягиваний, которые он хотел сделать за первые три недели, то есть $$21x$$.

$$(x - 3) \cdot 30 = 21x$$

$$30x - 90 = 21x$$

$$9x = 90$$

$$x = 10$$

Ответ: Гриша планировал делать 10 подтягиваний в день.

Пусть вся работа (вспахать поле) равна 1. Тогда производительность первого трактора равна $$\frac{1}{12}$$ (поле/час). Производительность двух тракторов вместе равна $$\frac{1}{9}$$ (поле/час). Пусть производительность второго трактора равна $$x$$ (поле/час).

Тогда $$\frac{1}{12} + x = \frac{1}{9}$$

$$x = \frac{1}{9} - \frac{1}{12}$$

$$x = \frac{4}{36} - \frac{3}{36}$$

$$x = \frac{1}{36}$$

Это означает, что второй трактор может вспахать поле за 36 часов.

Ответ: Второй трактор вспахал бы поле за 36 часов.