Задача 3. «Цветочный город» Незнайка, гуляя по Цветочному городу, забрёл в лабораторию к Знайке и обнаружил, что Знайка подготовил опыт для исследования неизвестной жидкости, которую они с Пончиком привезли с Луны. Знайка подготовил три резервуара, в первом было налито V₁ = 2л этой неизвестной жидкости, во втором V₂ = 3л, а в третьем V3 = 7л. Температуры жидкостей были t₁ = 7°C, t₂ = 14°C, t₃ = 22°C cоответственно. Незнайка, недолго думая, взял и смешал все жидкости в одной ёмкости, записав температуру смеси смесь в лабораторный журнал Знайки. Из журнала также известно, что Знайка за день до происшествия нагревал жидкость в первом сосуде с t₁ = 7°С до t = 28°С за время т = 350 с. Для эксперимента он использовал интересный нагреватель переменной мощности, который придумали Винтик и Шпунтик. График зависимости мощности нагревателя от времени представлен на рисунке. Потерями тепла пренебречь. 1. Определите, какое количество теплоты необходимо для нагрева жидкости в первом сосуде до температуры t = 28°C. 2. Какую температуру смеси смесь получил Незнайка? 3. Определите, какое количество теплоты необходимо для нагрева смеси до температуры t = 28°C. 4. Определите время т*, за которое можно нагреть смесь до температуры t = 28°C нагревателем Винтика и Шпунтика.

Решим задачу по физике. 1. Определение количества теплоты для нагрева жидкости в первом сосуде. Из условия задачи известно, что объем жидкости в первом сосуде $$V_1 = 2 \text{ л}$$, начальная температура $$t_1 = 7 \text{°C}$$, конечная температура $$t = 28 \text{°C}$$, а время нагрева $$\tau = 350 \text{ с}$$. Для начала определим массу жидкости в первом сосуде. Поскольку жидкость неизвестная, предположим, что её плотность равна плотности воды, то есть $$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$$. Тогда масса жидкости $$m_1$$ равна: $$m_1 = \rho V_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \text{ л} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.002 \text{ м}^3 = 2 \text{ кг}$$ Количество теплоты $$Q_1$$, необходимое для нагрева жидкости в первом сосуде, можно определить по формуле: $$Q_1 = m_1 c (t - t_1)$$, где $$c$$ - удельная теплоемкость жидкости. Так как жидкость неизвестна, предположим, что это вода, тогда $$c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$$. $$Q_1 = 2 \text{ кг} \cdot 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (28 \text{°C} - 7 \text{°C}) = 2 \cdot 4200 \cdot 21 \text{ Дж} = 176400 \text{ Дж} = 176.4 \text{ кДж}$$ 2. Определение температуры смеси. При смешивании жидкостей с разными температурами устанавливается некоторая средняя температура смеси $$t_{\text{смеси}}$$. Общая теплота, отданная более теплыми жидкостями, равна теплоте, полученной более холодными жидкостями. Запишем уравнение теплового баланса: $$m_1 c (t_{\text{смеси}} - t_1) + m_2 c (t_{\text{смеси}} - t_2) + m_3 c (t_{\text{смеси}} - t_3) = 0$$ Здесь $$m_1 = 2 \text{ кг}$$, $$t_1 = 7 \text{°C}$$; $$m_2 = 3 \text{ кг}$$, $$t_2 = 14 \text{°C}$$; $$m_3 = 7 \text{ кг}$$, $$t_3 = 22 \text{°C}$$. Подставим значения в уравнение: $$2 (t_{\text{смеси}} - 7) + 3 (t_{\text{смеси}} - 14) + 7 (t_{\text{смеси}} - 22) = 0$$ $$2t_{\text{смеси}} - 14 + 3t_{\text{смеси}} - 42 + 7t_{\text{смеси}} - 154 = 0$$ $$12t_{\text{смеси}} = 210$$ $$t_{\text{смеси}} = \frac{210}{12} = 17.5 \text{°C}$$ 3. Определение количества теплоты для нагрева смеси до температуры t = 28°C. Общая масса смеси равна: $$m_{\text{смеси}} = m_1 + m_2 + m_3 = 2 \text{ кг} + 3 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 12 \text{ кг}$$ Количество теплоты $$Q_{\text{смеси}}$$, необходимое для нагрева смеси до температуры $$t = 28 \text{°C}$$, равно: $$Q_{\text{смеси}} = m_{\text{смеси}} c (t - t_{\text{смеси}}) = 12 \text{ кг} \cdot 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (28 \text{°C} - 17.5 \text{°C}) = 12 \cdot 4200 \cdot 10.5 \text{ Дж} = 529200 \text{ Дж} = 529.2 \text{ кДж}$$ 4. Определение времени нагрева смеси нагревателем Винтика и Шпунтика. Из графика зависимости мощности нагревателя от времени видно, что мощность меняется периодически. Средняя мощность за период равна: $$P_{\text{ср}} = \frac{P_{\text{макс}}}{2}$$, где $$P_{\text{макс}} = 500 \text{ Вт}$$. Таким образом, $$P_{\text{ср}} = \frac{500}{2} = 250 \text{ Вт}$$. Время $$\tau^*$$, необходимое для нагрева смеси, можно определить по формуле: $$\tau^* = \frac{Q_{\text{смеси}}}{P_{\text{ср}}} = \frac{529200 \text{ Дж}}{250 \text{ Вт}} = 2116.8 \text{ с} \approx 35.28 \text{ мин}$$ Ответы: 1. Количество теплоты, необходимое для нагрева жидкости в первом сосуде до температуры $$t = 28 \text{°C}$$, составляет $$\bf{176.4 \text{ кДж}}$$. 2. Температура смеси, полученной Незнайкой, равна $$\bf{17.5 \text{°C}}$$. 3. Количество теплоты, необходимое для нагрева смеси до температуры $$t = 28 \text{°C}$$, составляет $$\bf{529.2 \text{ кДж}}$$. 4. Время, за которое можно нагреть смесь до температуры $$t = 28 \text{°C}$$ нагревателем Винтика и Шпунтика, составляет $$\bf{2116.8 \text{ с}}$$.