808. За 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?

Решение: Пусть x - скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость по течению: x + 3 Скорость против течения: x - 3 Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 6(x+3) = 36 \\ 6(x-3) = 48 \end{cases}$$ Решим первое уравнение: 6x + 18 = 36 6x = 18 x = 3 Решим второе уравнение: 6x - 18 = 48 6x = 66 x = 11 Проверка: Время по течению = 36/(x+3) = 36/(11+3) = 36/14 = 18/7. Время против течения = 48/(x-3) = 48/(11-3) = 48/8 = 6. Это не сходится. Из условия задачи известно, что катер прошел за 6 часов как по течению, так и против течения. То есть, время, затраченное на движение по течению и против течения, может быть разным. Предположим, что катер двигался по течению t1 часов, против течения t2 часов, и t1+t2 = 6. Тогда: $$\begin{cases} (x+3)t_1 = 36 \\ (x-3)t_2 = 48 \\ t_1 + t_2 = 6 \end{cases}$$ $$t_1 = 6 - t_2$$ $$(x+3)(6-t_2)=36$$ $$6x + 18 - xt_2 - 3t_2 = 36$$ $$xt_2 + 3t_2 = 6x - 18$$ $$t_2 = (6x-18)/(x+3)$$ $$(x-3)(6x-18)/(x+3) = 48$$ $$(x-3)(6x-18) = 48(x+3)$$ $$6x^2 - 18x - 18x + 54 = 48x + 144$$ $$6x^2 - 36x + 54 - 48x - 144 = 0$$ $$6x^2 - 84x - 90 = 0$$ $$x^2 - 14x - 15 = 0$$ D = $$(-14)^2 - 4 * 1 * (-15)$$ = 196 + 60 = 256 $$x_1 = (14 + \sqrt{256})/2$$ = (14+16)/2 = 30/2 = 15 $$x_2 = (14 - \sqrt{256})/2$$ = (14 - 16)/2 = -1 Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость катера в стоячей воде 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч