Решение:

1. Угол $$AOB$$ равен $$40$$ градусам по условию.

2. Луч $$OC$$ проведён так, что угол $$AOC$$ прямой, то есть равен $$90$$ градусам. Угол $$COB$$ при этом тупой, то есть больше $$90$$ градусов.

3. Луч $$OK$$ является биссектрисой угла $$COB$$, то есть делит его на два равных угла. Обозначим угол $$COK$$ равным углу $$KOB$$ и равным $$x$$.

4. Вычислим величину угла $$COB$$. Угол $$AOC$$ прямой, угол $$AOB$$ равен $$40$$ градусам. Значит, угол $$COB$$ равен $$AOC + AOB = 90 + 40 = 130$$ градусам.

   Так как $$OK$$ – биссектриса угла $$COB$$, то углы $$COK$$ и $$KOB$$ равны и составляют половину угла $$COB$$. Следовательно, $$COK = KOB = \frac{130}{2} = 65$$ градусов.

   Теперь вычислим угол $$KOA$$. Угол $$KOA$$ равен разности углов $$AOC$$ и $$COK$$. $$KOA = AOC - COK = 90 - 65 = 25$$ градусов.

Ответ: Величина угла $$KOA$$ равна $$25$$ градусам.