1. Выполните действия: a) $$\frac{18p^3}{k^5} \cdot \frac{k^6}{24p^9}$$ б) $$\frac{5a^3}{3+a} : \frac{15a^4}{a^2 + 6a+9}$$ в) $$\frac{4y^2-1}{y^2-9} : \frac{6y+3}{y+3}$$

Ответ:

а) $$\frac{18p^3}{k^5} \cdot \frac{k^6}{24p^9}$$

Сокращаем числитель и знаменатель на общие множители:

$$\frac{18p^3}{k^5} \cdot \frac{k^6}{24p^9} = \frac{3}{4} \cdot \frac{k}{p^6} = \frac{3k}{4p^6}$$

Ответ: $$\frac{3k}{4p^6}$$

б) $$\frac{5a^3}{3+a} : \frac{15a^4}{a^2 + 6a+9}$$

Преобразуем деление в умножение, перевернув вторую дробь. Заметим, что $$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$$

$$\frac{5a^3}{3+a} : \frac{15a^4}{a^2 + 6a+9} = \frac{5a^3}{3+a} \cdot \frac{(a+3)^2}{15a^4} = \frac{5a^3}{a+3} \cdot \frac{(a+3)^2}{15a^4}$$

Сокращаем дробь:

$$\frac{5a^3}{a+3} \cdot \frac{(a+3)^2}{15a^4} = \frac{1}{1} \cdot \frac{a+3}{3a} = \frac{a+3}{3a}$$

Ответ: $$\frac{a+3}{3a}$$

в) $$\frac{4y^2-1}{y^2-9} : \frac{6y+3}{y+3}$$

Преобразуем деление в умножение, перевернув вторую дробь. Заметим, что $$4y^2-1 = (2y-1)(2y+1)$$, и $$y^2-9 = (y-3)(y+3)$$

$$\frac{4y^2-1}{y^2-9} : \frac{6y+3}{y+3} = \frac{(2y-1)(2y+1)}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{6y+3} = \frac{(2y-1)(2y+1)}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{3(2y+1)}$$

Сокращаем дробь:

$$\frac{(2y-1)(2y+1)}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{3(2y+1)} = \frac{2y-1}{3(y-3)}$$

Ответ: $$\frac{2y-1}{3(y-3)}$$