1. Выполните действия: 1) a) $$\frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a} \div (\frac{1}{b} + \frac{1}{2a})$$; б) $$\frac{2m+1}{2m-1} \cdot \frac{6m-3}{4m^2-m}$$; в) $$\frac{y-3}{y+3} \cdot (y + \frac{y^2}{3-y})$$; г) $$(x - \frac{5x}{x+2}) \div \frac{x-3}{x+2}$$; д) $$\frac{6x+y}{3x} - \frac{5y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{15y}$$; 2) a) $$\frac{a^2-x^2}{b^2-16} \cdot \frac{b+4}{a-x} + \frac{x}{4-b}$$; б) $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{1}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x+y}$$; в) $$\frac{2a^2-a}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2-a+1})$$; 2. Представьте в виде дроби: a) $$\frac{x+y}{x-y} \div \frac{x+y}{x^2-y^2}$$; б) $$\frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} \div \frac{a+25}{25-a^2} \cdot \frac{a-5}{a^2+10a+25}$$; 3. Докажите тождество $$(\frac{2a-0,5b}{4a^2+ab+0,25b^2} + \frac{24ab}{64a^3-b^3} + \frac{1}{2a-0,5b}) \cdot \frac{4a-b}{4} = 1$$ 4. Представьте в виде рациональной дроби: $$\frac{\frac{3x-y}{y} + 1}{\frac{3x+y}{y} - 1} + \frac{3 - \frac{y}{x}}{\frac{3x}{y} - 1}$$ 5. Упростите выражение $$\frac{1}{(a-x)(x-1)} - \frac{1}{(a-x)(a+1)} - \frac{1}{(a-1)(x-1)} \cdot \frac{a^3 - 8x^3}{a^4+b^4}$$ 6) Автомобиль и мотоциклист одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 200 км. Скорость автомобиля — 60 км/ч, а мотоциклиста — 40 км/ч. Через сколько времени они встретятся?

Решения: 1. Выполните действия: 1) a) $$\frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a} \div (\frac{1}{b} + \frac{1}{2a}) = \frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a} \div (\frac{2a + b}{2ab}) = \frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a} \cdot \frac{2ab}{2a + b} = \frac{2a}{b^2} - \frac{b}{2a + b} = \frac{2a(2a+b) - b^3}{b^2(2a+b)} = \frac{4a^2 + 2ab - b^3}{b^2(2a+b)}$$ б) $$\frac{2m+1}{2m-1} \cdot \frac{6m-3}{4m^2-m} = \frac{2m+1}{2m-1} \cdot \frac{3(2m-1)}{m(4m-1)} = \frac{3(2m+1)}{m(4m-1)}$$ в) $$\frac{y-3}{y+3} \cdot (y + \frac{y^2}{3-y}) = \frac{y-3}{y+3} \cdot (\frac{y(3-y) + y^2}{3-y}) = \frac{y-3}{y+3} \cdot (\frac{3y - y^2 + y^2}{3-y}) = \frac{y-3}{y+3} \cdot \frac{3y}{3-y} = \frac{-(3-y)}{y+3} \cdot \frac{3y}{3-y} = -\frac{3y}{y+3}$$ г) $$(x - \frac{5x}{x+2}) \div \frac{x-3}{x+2} = (\frac{x(x+2) - 5x}{x+2}) \div \frac{x-3}{x+2} = \frac{x^2 + 2x - 5x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{x^2 - 3x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{x(x-3)}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = x$$ д) $$\frac{6x+y}{3x} - \frac{5y^2}{x^2} \cdot \frac{x}{15y} = \frac{6x+y}{3x} - \frac{5y^2x}{15yx^2} = \frac{6x+y}{3x} - \frac{y}{3x} = \frac{6x+y - y}{3x} = \frac{6x}{3x} = 2$$ 2) a) $$\frac{a^2-x^2}{b^2-16} \cdot \frac{b+4}{a-x} + \frac{x}{4-b} = \frac{(a-x)(a+x)}{(b-4)(b+4)} \cdot \frac{b+4}{a-x} + \frac{x}{-(b-4)} = \frac{a+x}{b-4} - \frac{x}{b-4} = \frac{a+x-x}{b-4} = \frac{a}{b-4}$$ б) $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{1}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x+y} = \frac{x-y}{2x+y} + \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)(2x+y)} = \frac{x-y}{2x+y} + \frac{x+y}{2x+y} = \frac{x-y+x+y}{2x+y} = \frac{2x}{2x+y}$$ в) $$\frac{2a^2-a}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{1}{a+1} - \frac{a-1}{a^2-a+1}) = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{a^2-a+1 - (a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}) = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{a^2-a+1 - (a^2-1)}{(a+1)(a^2-a+1)}) = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{a^2-a+1 - a^2+1}{(a+1)(a^2-a+1)}) = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - 2 \div (\frac{2-a}{(a+1)(a^2-a+1)}) = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - 2 \cdot \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{2-a} = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} - \frac{2(a+1)(a^2-a+1)}{2-a} = \frac{a(2a-1)}{a^2-a+1} + \frac{2(a+1)(a^2-a+1)}{a-2}$$ 2. Представьте в виде дроби: a) $$\frac{x+y}{x-y} \div \frac{x+y}{x^2-y^2} = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{x+y} = \frac{(x+y)(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} = x+y$$ б) $$\frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} \div \frac{a+25}{25-a^2} \cdot \frac{a-5}{a^2+10a+25} = \frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} \div \frac{a+25}{-(a^2-25)} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{a}{a-5} - \frac{a}{a+5} \cdot \frac{-(a-5)(a+5)}{a+25} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{a}{a-5} + \frac{a(a-5)}{a+25} \cdot \frac{a-5}{(a+5)^2} = \frac{a}{a-5} + \frac{a(a-5)^2}{(a+25)(a+5)^2} = \frac{a(a+25)(a+5)^2 + a(a-5)^3(a+25)}{(a-5)(a+25)(a+5)^2}$$ 3. Докажите тождество $$(\frac{2a-0,5b}{4a^2+ab+0,25b^2} + \frac{24ab}{64a^3-b^3} + \frac{1}{2a-0,5b}) \cdot \frac{4a-b}{4} = 1$$ $$(\frac{2a-0,5b}{(2a+0,5b)^2} + \frac{24ab}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)} + \frac{1}{2a-0,5b}) \cdot \frac{4a-b}{4} = 1$$ 4. Представьте в виде рациональной дроби: $$\frac{\frac{3x-y}{y} + 1}{\frac{3x+y}{y} - 1} + \frac{3 - \frac{y}{x}}{\frac{3x}{y} - 1} = \frac{\frac{3x-y+y}{y}}{\frac{3x+y-y}{y}} + \frac{\frac{3x-y}{x}}{\frac{3x-y}{y}} = \frac{\frac{3x}{y}}{\frac{3x}{y}} + \frac{3x-y}{x} \cdot \frac{y}{3x-y} = 1 + \frac{y}{x}$$ 5. Упростите выражение $$\frac{1}{(a-x)(x-1)} - \frac{1}{(a-x)(a+1)} - \frac{1}{(a-1)(x-1)} \cdot \frac{a^3 - 8x^3}{a^4+b^4} =$$ $$\frac{1}{(a-x)(x-1)} - \frac{1}{(a-x)(a+1)} - \frac{1}{(a-1)(x-1)} \cdot \frac{(a-2x)(a^2+2ax+4x^2)}{a^4+b^4}$$ 6. Автомобиль и мотоциклист Пусть t - время, через которое они встретятся. Тогда 60t + 40t = 200 100t = 200 t = 200/100 t = 2 часа.