1. Выполните действия: 1) a) $$(\frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a}):(\frac{1}{b} + \frac{1}{2a})$$; б) $$(\frac{2m}{2m-1} + 1) \cdot \frac{6m-3}{4m^2 - m}$$; в) $$\frac{a^2b}{12c} \cdot \frac{4c}{ab^2}$$; г) $$6x \cdot \frac{a}{3x^2}$$; 2) a) $$\frac{a^2 - x^2}{b^2 - 16} : \frac{a+x}{b-4} + \frac{x}{4-b}$$; б) $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{1}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x+y}$$; в) $$\frac{x^2-16}{8x^3} \cdot \frac{4x}{x+4}$$; г) $$\frac{c^2+4c+4}{2c-6} \cdot \frac{c^2-9}{5c+10}$$; 3. Упростите выражение: a) $$\frac{3x^2}{2y^2z^2} \cdot \frac{6y^3}{7z^3} : \frac{9xy}{14z^2}$$; б) $$\frac{216a^5}{343b^3} : \frac{18a^3}{49b^4} \cdot \frac{7a^3}{4b^2}$$.

Решение: 1. a) $$(\frac{2a}{b^2} - \frac{1}{2a}):(\frac{1}{b} + \frac{1}{2a})$$ * Приведем выражения в скобках к общему знаменателю: $$(\frac{4a^2 - b^2}{2ab^2}):(\frac{2a + b}{2ab})$$ * Разделим первую дробь на вторую, заменив деление умножением на обратную дробь: $$\frac{4a^2 - b^2}{2ab^2} \cdot \frac{2ab}{2a + b}$$ * Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $$\frac{(2a - b)(2a + b)}{2ab^2} \cdot \frac{2ab}{2a + b}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{(2a - b)}{b}$$ Ответ: $$\frac{2a - b}{b}$$ 1. б) $$(\frac{2m}{2m-1} + 1) \cdot \frac{6m-3}{4m^2 - m}$$ * Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$(\frac{2m + 2m - 1}{2m - 1}) \cdot \frac{6m - 3}{4m^2 - m}$$ * Упростим: $$\frac{4m - 1}{2m - 1} \cdot \frac{6m - 3}{4m^2 - m}$$ * Вынесем общие множители: $$\frac{4m - 1}{2m - 1} \cdot \frac{3(2m - 1)}{m(4m - 1)}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{3}{m}$$ Ответ: $$\frac{3}{m}$$ 1. в) $$\frac{a^2b}{12c} \cdot \frac{4c}{ab^2}$$ * Умножим дроби: $$\frac{4a^2bc}{12ab^2c}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{a}{3b}$$ Ответ: $$\frac{a}{3b}$$ 1. г) $$6x \cdot \frac{a}{3x^2}$$ * Умножим: $$\frac{6ax}{3x^2}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{2a}{x}$$ Ответ: $$\frac{2a}{x}$$ 2. a) $$\frac{a^2 - x^2}{b^2 - 16} : \frac{a+x}{b-4} + \frac{x}{4-b}$$ * Разложим числитель и знаменатель первой дроби как разность квадратов: $$\frac{(a - x)(a + x)}{(b - 4)(b + 4)} : \frac{a+x}{b-4} + \frac{x}{4-b}$$ * Заменим деление умножением на обратную дробь и изменим знак в последней дроби: $$\frac{(a - x)(a + x)}{(b - 4)(b + 4)} \cdot \frac{b-4}{a+x} - \frac{x}{b-4}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{a - x}{b + 4} - \frac{x}{b-4}$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(a - x)(b - 4) - x(b + 4)}{(b + 4)(b - 4)}$$ * Раскроем скобки: $$\frac{ab - 4a - xb + 4x - xb - 4x}{b^2 - 16}$$ * Упростим: $$\frac{ab - 4a - 2xb}{b^2 - 16}$$ Ответ: $$\frac{ab - 4a - 2xb}{b^2 - 16}$$ 2. б) $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{1}{x-y} \cdot \frac{x^2-y^2}{2x+y}$$ * Разложим числитель третьей дроби как разность квадратов: $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{1}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{2x+y}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{x-y}{2x+y} + \frac{x+y}{2x+y}$$ * Приведем к общему знаменателю и сложим: $$\frac{x - y + x + y}{2x + y}$$ * Упростим: $$\frac{2x}{2x + y}$$ Ответ: $$\frac{2x}{2x + y}$$ 2. в) $$\frac{x^2-16}{8x^3} \cdot \frac{4x}{x+4}$$ * Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $$\frac{(x - 4)(x + 4)}{8x^3} \cdot \frac{4x}{x+4}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{x - 4}{2x^2}$$ Ответ: $$\frac{x - 4}{2x^2}$$ 2. г) $$\frac{c^2+4c+4}{2c-6} \cdot \frac{c^2-9}{5c+10}$$ * Разложим числитель первой дроби как полный квадрат, а числитель второй дроби как разность квадратов: $$\frac{(c + 2)^2}{2c - 6} \cdot \frac{(c - 3)(c + 3)}{5c + 10}$$ * Вынесем общие множители в знаменателях: $$\frac{(c + 2)^2}{2(c - 3)} \cdot \frac{(c - 3)(c + 3)}{5(c + 2)}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{(c + 2)(c + 3)}{10}$$ Ответ: $$\frac{(c + 2)(c + 3)}{10}$$ 3. a) $$\frac{3x^2}{2y^2z^2} \cdot \frac{6y^3}{7z^3} : \frac{9xy}{14z^2}$$ * Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{3x^2}{2y^2z^2} \cdot \frac{6y^3}{7z^3} \cdot \frac{14z^2}{9xy}$$ * Перемножим дроби: $$\frac{3 \cdot 6 \cdot 14 x^2y^3z^2}{2 \cdot 7 \cdot 9 xy^2z^5}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{2xy}{z^3}$$ Ответ: $$\frac{2xy}{z^3}$$ 3. б) $$\frac{216a^5}{343b^3} : \frac{18a^3}{49b^4} \cdot \frac{7a^3}{4b^2}$$ * Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{216a^5}{343b^3} \cdot \frac{49b^4}{18a^3} \cdot \frac{7a^3}{4b^2}$$ * Перемножим дроби: $$\frac{216 \cdot 49 \cdot 7 a^8 b^4}{343 \cdot 18 \cdot 4 a^3 b^5}$$ * Сократим общие множители: $$\frac{3a^5}{2b}$$ Ответ: $$\frac{3a^5}{2b}$$