1. Вычислите a) $$4\frac{7}{9} + 1\frac{5}{6}$$; б) $$3\frac{1}{14} - \frac{9}{14}$$; в) $$3\frac{5}{7} - 1\frac{11}{21} + 2\frac{5}{14}$$ 2. Решите уравнение a) $$x + 6\frac{19}{26} = 8\frac{1}{39}$$; б) $$y + \frac{5}{12} - 1\frac{1}{6} = 1.25$$ 3. Периметр треугольника равен 30 см. Одна из его сторон равна $$8\frac{1}{15}$$ см, что на $$2\frac{5}{9}$$ см меньше второй стороны. Найдите третью сторону треугольника. 4. Сравните $$\frac{97}{98}$$ и $$\frac{98}{99}$$.

1. Вычислите

a) $$4\frac{7}{9} + 1\frac{5}{6}$$ Чтобы сложить смешанные числа, нужно сначала привести дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 равен 18. $$4\frac{7}{9} + 1\frac{5}{6} = 4\frac{7\cdot2}{9\cdot2} + 1\frac{5\cdot3}{6\cdot3} = 4\frac{14}{18} + 1\frac{15}{18} = 5\frac{29}{18}$$ Теперь выделим целую часть из неправильной дроби: $$5\frac{29}{18} = 5 + \frac{29}{18} = 5 + 1\frac{11}{18} = 6\frac{11}{18}$$ Ответ: $$6\frac{11}{18}$$
б) $$3\frac{1}{14} - \frac{9}{14}$$ Чтобы вычесть дробь из смешанного числа, нужно сначала убедиться, что дробная часть смешанного числа больше вычитаемой дроби. В данном случае это так. $$3\frac{1}{14} - \frac{9}{14} = \frac{3\cdot14 + 1}{14} - \frac{9}{14} = \frac{43}{14} - \frac{9}{14} = \frac{43 - 9}{14} = \frac{34}{14}$$ Сократим дробь и выделим целую часть: $$\frac{34}{14} = \frac{17}{7} = 2\frac{3}{7}$$ Ответ: $$2\frac{3}{7}$$
в) $$3\frac{5}{7} - 1\frac{11}{21} + 2\frac{5}{14}$$ Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7, 21 и 14 равен 42. $$3\frac{5}{7} - 1\frac{11}{21} + 2\frac{5}{14} = 3\frac{5\cdot6}{7\cdot6} - 1\frac{11\cdot2}{21\cdot2} + 2\frac{5\cdot3}{14\cdot3} = 3\frac{30}{42} - 1\frac{22}{42} + 2\frac{15}{42}$$ Выполним вычитание и сложение: $$3\frac{30}{42} - 1\frac{22}{42} + 2\frac{15}{42} = (3 - 1 + 2) + (\frac{30}{42} - \frac{22}{42} + \frac{15}{42}) = 4 + \frac{30 - 22 + 15}{42} = 4 + \frac{23}{42} = 4\frac{23}{42}$$ Ответ: $$4\frac{23}{42}$$

2. Решите уравнение

a) $$x + 6\frac{19}{26} = 8\frac{1}{39}$$ Чтобы найти $$x$$, нужно вычесть из правой части уравнения левую часть: $$x = 8\frac{1}{39} - 6\frac{19}{26}$$ Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 39 и 26 равен 78. $$x = 8\frac{1\cdot2}{39\cdot2} - 6\frac{19\cdot3}{26\cdot3} = 8\frac{2}{78} - 6\frac{57}{78}$$ Так как $$\frac{2}{78} < \frac{57}{78}$$, нужно занять единицу у целой части: $$x = 7\frac{78+2}{78} - 6\frac{57}{78} = 7\frac{80}{78} - 6\frac{57}{78} = (7 - 6) + (\frac{80}{78} - \frac{57}{78}) = 1 + \frac{23}{78} = 1\frac{23}{78}$$ Ответ: $$1\frac{23}{78}$$
б) $$y + \frac{5}{12} - 1\frac{1}{6} = 1.25$$ Преобразуем уравнение: $$y = 1.25 + 1\frac{1}{6} - \frac{5}{12}$$ Представим 1.25 как дробь $$\frac{5}{4}$$, а $$1\frac{1}{6}$$ как $$\frac{7}{6}$$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $$y = \frac{5\cdot3}{4\cdot3} + \frac{7\cdot2}{6\cdot2} - \frac{5}{12} = \frac{15}{12} + \frac{14}{12} - \frac{5}{12} = \frac{15 + 14 - 5}{12} = \frac{24}{12} = 2$$ Ответ: 2

3. Периметр треугольника

Пусть первая сторона равна $$a = 8\frac{1}{15}$$ см. Вторая сторона больше первой на $$2\frac{5}{9}$$ см, значит, вторая сторона $$b = a + 2\frac{5}{9} = 8\frac{1}{15} + 2\frac{5}{9}$$ см. Периметр $$P = 30$$ см. Нужно найти третью сторону $$c$$. $$b = 8\frac{1}{15} + 2\frac{5}{9} = 8\frac{1\cdot3}{15\cdot3} + 2\frac{5\cdot5}{9\cdot5} = 8\frac{3}{45} + 2\frac{25}{45} = 10\frac{28}{45}$$ Тогда третья сторона равна: $$c = P - a - b = 30 - 8\frac{1}{15} - 10\frac{28}{45}$$. Приведем дробь $$\frac{1}{15}$$ к знаменателю 45: $$c = 30 - 8\frac{3}{45} - 10\frac{28}{45} = 30 - (8 + 10) - (\frac{3}{45} + \frac{28}{45}) = 30 - 18 - \frac{31}{45} = 12 - \frac{31}{45} = 11\frac{45}{45} - \frac{31}{45} = 11\frac{14}{45}$$ Ответ: $$11\frac{14}{45}$$ см.

4. Сравните

Сравним дроби $$\frac{97}{98}$$ и $$\frac{98}{99}$$. $$rac{97}{98} = 1 - \frac{1}{98}$$ и $$\frac{98}{99} = 1 - \frac{1}{99}$$. Так как $$\frac{1}{98} > \frac{1}{99}$$, то $$1 - \frac{1}{98} < 1 - \frac{1}{99}$$. Следовательно, $$\frac{97}{98} < \frac{98}{99}$$. Ответ: $$\frac{97}{98} < \frac{98}{99}$$