Вычислить: 1) $$\frac{2}{15^{\frac{7}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}:(\frac{4}{5})^{-2}$$; 2) $$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}+4 \cdot 379^0$$; 3) $$\sqrt[3]{128}+3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}:\sqrt[3]{2}$$. 2 Упростить выражение: 1) $$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}}$$; 2) $$\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{\frac{1}{a^3}}$$. 3 Сократить дробь $$\frac{a-9a^2}{\frac{1}{7a^4}+21}$$. 4 Сравнить числа $$\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3}$$ и $$\sqrt[5]{\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}$$. 5 Упростить выражение $$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2$$.

1. Вычислить:

1) $$ \frac{2}{15^{\frac{7}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}:(\frac{4}{5})^{-2} $$ Преобразуем выражение: $$ \frac{2}{(3 \cdot 5)^{\frac{7}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} : (\frac{5}{4})^{2} = \frac{2}{3^{\frac{7}{3}} \cdot 5^{\frac{7}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{16}{25} = \frac{2}{3^{\frac{9}{3}} \cdot 5^{\frac{7}{3}}} \cdot \frac{16}{25} = \frac{2}{3^3 \cdot 5^{\frac{7}{3}}} \cdot \frac{16}{25} = \frac{2}{27 \cdot 5^{\frac{7}{3}}} \cdot \frac{16}{25} = \frac{32}{27 \cdot 5^{\frac{7}{3}} \cdot 5^2} = \frac{32}{27 \cdot 5^{\frac{13}{3}}} = \frac{32}{27 \cdot 5^4 \cdot \sqrt[3]{5}} = \frac{32}{27 \cdot 625 \cdot \sqrt[3]{5}} = \frac{32}{16875\sqrt[3]{5}} $$ Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{5^2}$$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $$ \frac{32 \sqrt[3]{5^2}}{16875 \cdot 5} = \frac{32 \sqrt[3]{25}}{84375} $$

2) $$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}}+4 \cdot 379^0$$ $$(\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$$ $$379^0 = 1$$ $$\frac{1}{3} + 4 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$$

3) $$\sqrt[3]{128}+3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}:\sqrt[3]{2}$$ Преобразуем выражение: $$\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}$$ $$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}} = \sqrt[3]{\frac{2}{8}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$ Тогда: $$ 4\sqrt[3]{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{2} : \sqrt[3]{2} = (4\sqrt[3]{2} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{2}) : \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}(4+\frac{3}{2}) : \sqrt[3]{2} = 4+\frac{3}{2} = \frac{8}{2} + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 $$

2. Упростить выражение:

1) $$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{ab^2 \cdot a^5b}{c \cdot c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} = \frac{a^2b}{c}$$

2) $$\frac{a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}}}{\frac{1}{a^3}} = a^{-3} \cdot a^{\frac{7}{3}} \cdot a^3 = a^{\frac{7}{3}}$$

3. Сократить дробь

$$ \frac{a-9a^2}{\frac{1}{7a^4}+21} = \frac{a(1-9a)}{\frac{1+21 \cdot 7a^4}{7a^4}} = \frac{a(1-9a) \cdot 7a^4}{1+147a^4} = \frac{7a^5(1-9a)}{1+147a^4} $$

4. Сравнить числа

$$\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3}$$ и $$\sqrt[5]{\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}$$ Преобразуем выражение: $$\sqrt[5]{\sqrt[3]{\frac{1}{4}}} = \sqrt[15]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{15}} = (\frac{1}{2^2})^{\frac{1}{15}} = (2^{-2})^{\frac{1}{15}} = 2^{-\frac{2}{15}}$$ $$\sqrt[5]{(\frac{2}{9})^3} = (\frac{2}{9})^{\frac{3}{5}} = (2 \cdot 9^{-1})^{\frac{3}{5}} = (2 \cdot (3^2)^{-1})^{\frac{3}{5}} = (2 \cdot 3^{-2})^{\frac{3}{5}} = 2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{-\frac{6}{5}}$$ Сравним числа, возведя их в степень 75: $$(2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{-\frac{6}{5}})^{75} = 2^{45} \cdot 3^{-90}$$ $$(2^{-\frac{2}{15}})^{75} = 2^{-10}$$ Тогда: $$\frac{2^{45}}{3^{90}} > \frac{1}{2^{10}}$$ $$\frac{2^{45} \cdot 2^{10}}{3^{90}} > 1$$ $$\frac{2^{55}}{3^{90}} > 1$$ $$2^{55} > 3^{90}$$ $$2^{11} > 3^{18}$$ $$2048 > 387420489$$ Первое число меньше второго.

5. Упростить выражение

$$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2$$ Раскроем скобки: $$(\sqrt[3]{a})^2 + 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 - ((\sqrt[3]{a})^2 - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2) = (\sqrt[3]{a})^2 + 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2 - (\sqrt[3]{a})^2 + 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} - (\sqrt[3]{b})^2 = 4\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}$$ $$4\sqrt[3]{ab}$$